Задача 75661 Решите двойной интеграл....
Условие
Решение
[m]\int \limits_{D} \int \frac{x^2dxdy}{y^2}[/m]
[m]D: x=2; y=x; y=\frac{1}{x}[/m]
Сначала нарисуем область интегрирования.
Смотрите рисунок.
На графике мы видим, что x меняется от 1 до 2.
x = 1 обозначено черной линией, x = 2 - зелёной.
По y график нужно просматривать снизу вверх.
Мы видим, что y меняется от y = 1/x до y = x.
Это и есть пределы интегрирования.
[m]\int \limits_{D} \int \frac{x^2dxdy}{y^2}=\int \limits_1^2\ dx \int \limits_{y=1/x}^{y=x} \frac{x^2}{y^2}\ dy=[/m]
Сначала берем внутренний интеграл по dy
[m]\int \limits_{y=1/x}^{y=x} \frac{x^2}{y^2}\ dy= -\frac{x^2}{y}|_{y=1/x}^{y=x} = -\frac{x^2}{x} + \frac{x^2}{1/x} = -x+x^3[/m]
Теперь берем внешний интеграл по dx:
[m]\int \limits_1^2 (-x+x^3)\ dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}|_1^2 =[/m]
[m] =(\frac{2^4}{4} - \frac{2^2}{2}) - (\frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2}) = 4-2-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}[/m]