Задача 75641 cosa+cos2a+cos6a+cos7a=4cosa/2cos5a/2cos4a...
Условие
математика колледж
115
Решение
★
Есть формула суммы косинусов:
[m]cos(a) + cos(b) = 2cos \frac{a+b}{2} cos \frac{a-b}{2}[/m]
Поэтому:
[m]cos(7a)+cos(a) = 2cos \frac{7a+a}{2} cos \frac{7a-a}{2} = 2cos(4a)cos(3a)[/m]
[m]cos(6a)+cos(2a)= 2cos \frac{6a+2a}{2} cos \frac{6a-2a}{2} = 2cos(4a)cos(2a)[/m]
Сумма получается:
2cos 4a*cos 3a+2cos 4a*cos 2a = 2cos 4a*(cos 3a + cos 2a) =
[m]=2cos(4a) \cdot 2cos \frac{3a+2a}{2} cos \frac{3a-2a}{2}=[/m]
[m]= 4cos(4a)cos \frac{5a}{2}cos \frac{a}{2}[/m]
Что и требовалось доказать