Задача 75640 (1+1/cos2a+tg2a)(1-1/cos2a+tg2a)=2tg2a...
Условие
Решение
[m](1+\frac{1}{cos(2a)}+tg(2a))(1-\frac{1}{cos(2a)}+tg(2a))=[/m]
[m]=(\frac{cos(2a)}{cos(2a)}+\frac{1}{cos(2a)}+\frac{sin(2a)}{cos(2a)})(\frac{cos(2a)}{cos(2a)}-\frac{1}{cos(2a)}+\frac{sin(2a)}{cos(2a)})=[/m]
[m]=\frac{cos(2a)+sin(2a)+1}{cos(2a)} \cdot \frac{cos(2a)+sin(2a)-1}{cos(2a)} [/m]
Заметим, что:
cos(2a)+sin(2a)+1 = cos^2 a-sin^2 a+2sin a*cos a+sin^2 a+cos^2 a =
= 2cos^2 a + 2sin a*cos a = 2cos a(cos a + sin a)
Точно также:
cos(2a)+sin(2a)-1 = cos^2 a-sin^2 a+2sin a*cos a-sin^2 a-cos^2 a =
= -2sin^2 a + 2sin a*cos a = 2sin a(cos a - sin a)
Поэтому:
[m]\frac{cos(2a)+sin(2a)+1}{cos(2a)} \cdot \frac{cos(2a)+sin(2a)-1}{cos(2a)}=[/m]
[m]=\frac{2cos(a)(cos(a)+sin(a)) \cdot 2sin(a)(cos(a)-sin(a))}{cos^2(2a)} = [/m]
[m]=\frac{4cos(a)sin(a)(cos(a)+sin(a))(cos(a)-sin(a))}{cos^2(2a)} =[/m]
[m]=\frac{2sin(2a)(cos^2(a)-sin^2(a))}{cos^2(2a)} =\frac{2sin(2a)cos(2a)}{cos^2(2a)} = \frac{2sin(2a)}{cos(2a)} = 2tg(2a)[/m]
Что и требовалось доказать