Задача 75638 ...
Условие
Решение
По формулам приведения:
cos(3π/2 + 4a) = sin 4a
sin(3π – 8a) = sin(2π + π – 8a) = sin(π – 8a) = sin 8a
sin(4π – 12a) = sin(–12a) = –sin(12a)
Получаем:
cos(3π/2+4a)+sin(3π–8a)–sin(4π–12a) = sin 4a+sin 8a+sin 12a
Есть формула суммы синусов:
[m]sin(a) + sin(b) = 2sin \frac{a+b}{2} \cdot cos \frac{a-b}{2}[/m]
Поэтому:
sin 4a + sin 8a + sin 12a = sin 12a + sin 4a + sin 8a =
[m]=2sin \frac{12a+4a}{2} \cdot cos \frac{12a-4a}{2}+ sin(8a) =[/m]
= 2sin(8a)cos(4a) + sin(8a) = sin(8a)(2cos(4a) + 1) =
=2sin 4a*cos 4a(2cos 4a+1) = 2cos 4a(2sin 4a*cos 4a+sin 4a)=
= 2cos 4a(sin 8a + sin 4a) =
[m]= 2cos(4a) \cdot 2sin \frac{8a+4a}{2} \cdot cos \frac{8a-4a}{2}=[/m]
[m]=4cos(4a) \cdot sin(6a) \cdot cos(2a)[/m]
Что и требовалось доказать