Задача 75637 Sin2a-sin3a+sin4a/cos2a-cos3a+cos4a=tg3a...
Условие
Решение
Есть формулы суммы и разности синусов и косинусов:
[m]sin(a) + sin(b) = 2sin \frac{a+b}{2} cos \frac{a-b}{2}[/m]
[m]sin(a) - sin(b) = 2sin \frac{a-b}{2} cos \frac{a+b}{2}[/m]
[m]cos(a) + cos(b) = 2cos \frac{a+b}{2} cos \frac{a-b}{2}[/m]
[m]cos(a) - cos(b) = -2sin \frac{a-b}{2} sin \frac{a+b}{2}[/m]
Отсюда получаем числитель:
[m]sin(2a) – sin(3a) + sin(4a) = sin(4a) + sin(2a) – sin(3a) = [/m]
[m]= 2sin \frac{4a+2a}{2} cos \frac{4a-2a}{2} – sin(3a) = [/m]
[m]= 2sin(3a) cos(a) – sin(3a) = sin(3a)(2cos(a) – 1)[/m]
И знаменатель:
[m]cos(2a) – cos(3a) + cos(4a) = cos(4a) + cos(2a) – cos(3a) =[/m]
[m]=2cos \frac{4a+2a}{2} cos \frac{4a-2a}{2} – cos(3a) =[/m]
[m]=2cos(3a) cos(a) – cos(3a) = cos(3a)(2cos(a) – 1)[/m]
Получаем дробь:
[m]\frac{sin(3a)(2cos(a) – 1)}{cos(3a)(2cos(a) – 1)} = \frac{sin(3a)}{cos(3a)} = tg(3a)[/m]
Что и требовалось доказать.