Задача 75614 Решить матрицу...
Условие
Решение
[m]A=\begin{bmatrix}
8 & 2 & 2 \\
-2 & -5 & -12 \\
2 & 11 & 18 \\
\end{bmatrix}[/m]
Чтобы найти собственное число λ матрицы A, нужно решить уравнение:
A - λ*E = 0
Где Е - это единичная матрица:
[m]E=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}[/m]
Решаем:
[m]\begin{bmatrix}
8 & 2 & 2 \\
-2 & -5 & -12 \\
2 & 11 & 18 \\
\end{bmatrix} - \lambda \cdot \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0[/m]
[m]\begin{bmatrix}
8-\lambda & 2 & 2 \\
-2 & -5-\lambda & -12 \\
2 & 11 & 18-\lambda \\
\end{bmatrix}=0[/m]
Находим определитель:
(8-λ)(-5-λ)(18-λ) + 2*11(-2) + 2*2(-12) - 2(-5-λ)*2 -
- 11(-12)(8-λ) - 2(-2)(18-λ) = 0
(-40 + 5λ - 8λ + λ^2)(18 - λ) - 44 - 48 + 20 + 4λ +
+ 132*8 - 132λ + 4*18 - 4λ = 0
(λ^2-3λ-40)(18-λ) - 72 + 4λ + 1056 - 132λ + 72 - 4λ = 0
-λ^3 + 3λ^2 + 40λ + 18λ^2 - 54λ - 720 - 132λ + 1056 = 0
-λ^3 + 21λ^2 - 146λ + 336 = 0
Подставляем λ = 6:
-6^3 + 21*6^2 - 146*6 + 336 = -216+21*36-146*6+336 =
= -216 + 756 - 876 + 336 = 540 - 540 = 0
Проверять число -10 смысла уже нет.
1) Собственным числом матрицы А является число 6.
2) Найдём собственный вектор x, отвечающий числу λ = 6.
Для этого нужно решить систему:
{ 8*x1 + 2*x2 + 2*x3 = 6*x1
{ -2*x1 - 5*x2 - 12*x3 = 6*x2
{ 2*x1 + 11*x2 + 18*x3 = 6*x3
Приводим подобные:
{ 2*x1 + 2*x2 + 2*x3 = 0
{ -2*x1 - 11*x2 - 12*x3 = 0
{ 2*x1 + 11*x2 + 12*x3 = 0
2 и 3 уравнения оказались одинаковыми, значит, решение не однозначное.
{ 2*x1 + 2*x2 + 2*x3 = 0
{ -2*x1 - 11*x2 - 12*x3 = 0
Складываем уравнения:
0*x1 - 9*x2 - 10*x3 = 0
-9*x2 = 10*x3
x3 = -0,9*x2
Пусть x2 = -10, тогда x3 = 9. Подставляем в 1 уравнение:
При этом 1 уравнение можно разделить на 2:
x1 + x2 + x3 = 0
x1 - 10 + 9 = 0
x1 = 1
Собственный вектор: x = {1; -10; 9}
Ответ: -10;9