Задача 75593 Одна из сторон треугольника равна b, а...

65b7910c3f7efb2eafdda50b

1/29/2024 11:51:56 AM

Одна из сторон треугольника равна b, а угол, лежащий против неё, равен B.найдите радиус окружности описанной около треугольника если b=4 корень из 3 дм,B=120

626fab9a354ab65fb2f43abb

1/29/2024 12:39:22 PM

★

Смотрите рисунок.
Обозначим наш треугольник ABC, ∠ B = 120° (черный).
Точка D - противоположна B.
Точка У - вершина вписанного угла ∠ AEC.
Я специально взял вершиной точку E, а не B, чтобы показать, что Δ AEC не обязательно равнобедренный, результат не зависит от этого.
4-угольник ABCE - вписанный в окружность, имеет свойство:
Сумма его противоположных углов равна 180°.
Значит, ∠ AEC = 180° - ∠ ABC = 180° - 120° = 60° (синий).
Есть другое свойство: Вписанный угол ∠ AEC в 2 раза меньше центрального угла ∠ AOC, значит
∠ AOC = 2*∠ AEC = 2*60° = 120° (красный).
Δ AOC - равнобедренный, потому что AO = OC = R.
Высота равнобедренного треугольник, она же биссектриса и медиана OM (зелёная).
По условию AC = b = 4sqrt(3) дм, значит
AM = CM = AC/2 = 2sqrt(3) дм (потому что OM - медиана)
∠ AOM = AOC/2 = 60° (потому что OM - биссектриса)
∠ AMO = 90° (потому что OM - высота)
∠ MAO = 180° - 90° - 60° = 30°
Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
OM = OA/2 = R/2
По теореме Пифагора:
OM^2 + AM^2 = AO^2
(R/2)^2 + (2sqrt(3))^2 = R^2
4*3 = R^2 - R^2/4
3R^2/4 = 12
R^2 = 12*4/3 = 16

Ответ: R = 4 дм