Задача 75582 Вопросы по log (уравнения, неравенства)...
Условие
Решение
Логарифм - это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число под логарифмом.
Например, log_2(32) = 5, потому что 2^5 = 32.
Ограничения ОДЗ: Число под логарифмом должно быть больше 0.
Основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1.
При любом основании а:
log_(a) (1) = 0
log_(a) (a) = 1
Если основание больше 1, то функция логарифма возрастает.
Если основание (0; 1), то функция логарифма убывает.
Задачи.
2) log_6 |x^2 + 5x - 10| = log_6 |x + 2|
Модули всегда неотрицательны, поэтому ОДЗ выполняется при любом x, при которых выражения не равны 0.
То есть кроме x = -2 и корней уравнения x^2 + 5x - 10 = 0.
Так как основания одинаковые и логарифмы равны, то равны и выражения под логарифмами.
|x^2 + 5x - 10| = |x + 2|
Так как у нас модули, то возможны два случая:
А) x^2 + 5x - 10 = x + 2
x^2 + 4x - 12 = 0
(x + 6)(x - 2) = 0
x1 = -6, x2 = 2
По ОДЗ оба корня подходят.
Б) x^2 + 5x - 10 = -x - 2
x^2 + 6x - 8 = 0
D/4 = 3^2 - 1(-8) = 9 + 8 = 17
x3 = -3 - sqrt(17); x4 = -3 + sqrt(17)
По ОДЗ оба корня подходят.
Ответ: x1 = -6, x2 = 2; x3 = -3 - sqrt(17); x4 = -3 + sqrt(17)
3) log_(0,3) |x + 6| ≥ log_(0,3) |4 - x|
ОДЗ выполняется при любом x, кроме x = -6 и x= 4.
Так как основание 0,3 ∈ (0; 1), то функция убывающая.
Поэтому при переходе от логарифмов к выражениям под логарифмами знак неравенства поменяется.
|x + 6| ≤ |4 - x|
Опять же, так как у нас модуль, будет два случая.
А) x + 6 ≤ 4 - x
2x ≤ -2
x ≤ -1
Но по ОДЗ x ≠ -6, поэтому:
x ∈ (-oo; -6) U (-6; -1]
Б) x + 6 ≤ x - 4
Вычитаем x слева и справа и получаем:
6 ≤ -4
Это неравенство решений не имеет.
Ответ: x ∈ (-oo; -6) U (-6; -1]
4) С телефона неудобно вводить дроби, поэтому я распишу каждый логарифм отдельно.
У логарифмов есть замечательное свойство:
log_(a) (b) = log_(c) (b) / log_(c) (a)
То есть можно перейти к новому основанию, причем любому, главное
должно быть c > 0, c ≠ 1.
log_4 (8) = log_2 (8) / log_2 (4) = 3/2
log_4 (2) = 1/2, потому что 4^(1/2) = √4 = 2
2log_3 (12) = log_3 (12^2) = log_3 (144)
log_3 (144) - log_3 (16) = log_3 (144/16) = log_3 (9) = 2
Подставляем в дробь:
(3/2 + 1/2) / 2 = 2/2 = 1
5) 1) log_5 |x - 1| + log_5 |x + 3| = 1
ОДЗ: x ≠ 1; x ≠ -3
log_5 |(x - 1)(x + 3)| = 1
|(x - 1)(x + 3)| = 5
Так как у нас опять модуль, возможно два случая:
А) (x - 1)(x + 3) = 5
x^2 + 2x - 3 = 5
x^2 + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0
x1 = -4; x2 = 2
Б) (x - 1)(x + 3) = -5
x^2 + 2x - 3 = -5
x^2 + 2x + 2 = 0
Это уравнение корней не имеет.
Ответ: x1 = -4; x2 = 2
2) log_2 (x) + log_(x) (2) = 10
ОДЗ: x > 0; x ≠ 1
Заметим, что log_(x) (2) = 1/log_2 (x)
Делаем замену: log_2 (x) = y
y + 1/y = 10
y^2 + 1 = 10y
y^2 - 10y + 1 = 0
D/4 = (-5)^2 - 1*1 = 25 - 1 = 24 = (2sqrt(6))^2
y1 = 5 - 2sqrt(6); x1 = 2^(5 - 2sqrt(6))
y2 = 5 + 2sqrt(6); x2 = 2^(5 + 2sqrt(6))
6) log^2_3 (x) - 2log_3 (x) - 3 ≥ 0
ОДЗ: x > 0
Замена log_3 (x) = y
y^2 - 2y - 3 ≥ 0
(y - 3)(y + 1) ≥ 0
y ∈ (-oo; -1] U [3; +oo)
x = 3^(y); 3^(-1) = 1/3; 3^3 = 27
Ответ: x ∈ (0; 1/3] U [27; +oo)