Задача 75574 Построить график функции y=f(x)...
Условие
1) Область определения
2) Четность нечетность функции и периодичность
3) Поведение на границе области определения и вершины асимптот
4) Точки пересечения с осями координат и интервалы знаки постоянства функции
5) Интервалы монотонности и экстремумы
6) Интервалы выпуклости в точке перегиба
7) Наклонные асимптоты
8) Контрольные точки
[m]y=(2x^2-8x+9)/(x^2-3x+3)[/m]
Решение
1) Область определения:
Функция определена для всех значений x, при которых знаменатель не равен нулю. Найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю:
x^2 - 3x + 3 = 0.
Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом D = b^2 - 4ac:
D = (-3)^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3.
Так как D < 0, то квадратное уравнение не имеет вещественных корней и знаменатель никогда не обращается в ноль. Следовательно, функция определена для всех значений x.
2) Четность, нечетность и периодичность:
Разложим функцию на числитель и знаменатель и посмотрим на их свойства:
y = 2x^2 - 8x + 9 / x^2 - 3x + 3.
Функция является общей рациональной функцией, то есть не обладает четностью или нечетностью. Также, поскольку ни числитель, ни знаменатель не являются периодическими функциями, то и сама функция не является периодической.
3) Поведение на границе области определения и вершины асимптот:
Так как функция определена для всех значений x, то на границах области определения у нее нет особых точек или разрывов. Чтобы найти вертикальные асимптоты, найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю:
x^2 - 3x + 3 = 0.
Так как дискриминант D < 0, то вертикальные асимптоты отсутствуют.
4) Точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции:
Для нахождения точек пересечения с осями координат приравняем функцию y к нулю:
2x^2 - 8x + 9 = 0.
Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
D = (-8)^2 - 4(2)(9) = 64 - 72 = -8.
Так как D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, и функция не пересекает ось x. Чтобы найти точки пересечения с осью y (x = 0), подставим x = 0 в уравнение функции:
y = (2(0)^2 - 8(0) + 9) / (0^2 - 3(0) + 3) = 9/3 = 3.
Таким образом, функция пересекает ось y в точке (0, 3). Чтобы определить интервалы знакопостоянства функции, нужно рассмотреть знаки числителя и знаменателя:
2x^2 - 8x + 9 > 0 при x из R,
x^2 - 3x + 3 > 0 при x из R.
Для нахождения интервалов, где функция положительна или отрицательна, можно использовать метод знаков. Однако, для данной функции это будет довольно громоздко и сложно, поэтому для полноты анализа рекомендуется использовать график функции.
5) Интервалы монотонности и экстремумы:
Для нахождения интервалов монотонности и экстремумов нужно проанализировать производную функции. Для этого выразим функцию y в производной форме и найдем производную:
y = (2x^2 - 8x + 9) / (x^2 - 3x + 3),
y' = [(2x^2 - 8x + 9)'(x^2 - 3x + 3) - (2x^2 - 8x + 9)(x^2 - 3x + 3)'] / (x^2 - 3x + 3)^2,
y' = [4x - 8(x^2 - 3x + 3) - (2x^2 - 8x + 9)(2x - 3)] / (x^2 - 3x + 3)^2,
y' = [4x - 8x^2 + 24x - 24 - (4x^2 - 16x + 18x - 27)] / (x^2 - 3x + 3)^2,
y' = [4 - 8x - 4x^2 + 16x - 18x - 27] / (x^2 - 3x + 3)^2,
y' = (-4x^2 - 6x - 23) / (x^2 - 3x + 3)^2.
Найдем значения x, при которых производная равна нулю:
-4x^2 - 6x - 23 = 0.
Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться дискриминантом:
D = (-6)^2 - 4(-4)(-23) = 36 - 368 = -332.
Так как D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что функция не имеет точек экстремума. Чтобы найти интервалы монотонности, можно построить знакопеременность производной на числовой прямой или использовать интервалы знакопостоянства функции. Опять же, для данной функции это будет сложно без использования графика.
6) Интервалы выпуклости в точке перегиба:
Чтобы найти точку перегиба и интервалы выпуклости, нужно проанализировать вторую производную функции. Выразим производную функции второго порядка:
y'' = [(4 - 8x - 4x^2 - 6x - 23)'(x^2 - 3x + 3)^2 - (-4x^2 - 6x - 23)(2(x^2 - 3x + 3)(2x - 3))] / (x^2 - 3x + 3)^4,
y'' = [(-8x - 8 - 8x - 6)(x^2 - 3x + 3)^2 - (-4x^2 - 6x - 23)(2(x^2 - 3x + 3)(2x - 3))] / (x^2 - 3x + 3)^4,
y'' = [-16x - 14)(x^2 - 3x + 3)^2 + (-4x^2 - 6x - 23)(4(x^2 - 3x + 3)(2x - 3))] / (x^2 - 3x + 3)^4,
y'' = (-16x^3 + 80x^2 - 127x + 56) / (x^2 - 3x + 3)^3.
Найдем значения x, при которых вторая производная равна нулю:
-16x^3 + 80x^2 - 127x + 56 = 0.
Для решения этого уравнения можно воспользоваться численными методами или графическим способом. Также стоит отметить, что функция может не иметь точек перегиба, если ее график не меняет выпуклость.
7) Наклонные асимптоты:
Чтобы найти наклонные асимптоты, нужно проанализировать предел функции при x стремящемся к плюс или минус бесконечности:
lim(x-> ±∞) y = lim(x-> ±∞) [(2x^2 - 8x + 9) / (x^2 - 3x + 3)].
Для нахождения наклонных асимптот нужно вычислить эту грань. Однако, из-за сложности функции и исследования на предыдущих этапах, наклонные асимптоты будут сложными для определения без построения графика.
8) Контрольные точки:
Чтобы найти контрольные точки, можно выбрать несколько значений x в области определения функции и вычислить соответствующие значения y. Например, можно рассмотреть значения x = 1, 2, -1, -2 и вычислить значения y для них:
y(1) = (2(1)^2 - 8(1) + 9) / (1^2 - 3(1) + 3) = 3,
y(2) = (2(2)^2 - 8(2) + 9) / (2^2 - 3(2) + 3) = -1,
y(-1) = (2(-1)^2 - 8(-1) + 9) / ((-1)^2 - 3(-1) + 3) = -1,
y(-2) = (2(-2)^2 - 8(-2) + 9) / ((-2)^2 - 3(-2) + 3) = 3.
Таким образом, мы получаем несколько контрольных точек: (1, 3), (2, -1), (-1, -1), (-2, 3).
Итак, исследование функции y = (2x^2 - 8x + 9) / (x^2 - 3x + 3) позволяет выявить область определения, анализировать четность, нечетность и периодичность, поведение на границе области определения и вершины асимптот, точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции, интервалы монотонности и экстремумы, интервалы выпуклости в точке перегиба, наклонные асимптоты и контрольные точки. Однако, для полной и точной информации о функции рекомендуется построение ее графика.