Задача 75565 ...
Условие
Решение
y = 3cos^2 a - 4sin^2 a
Чтобы найти точки максимума и минимума, возьмем производную и приравняем ее к 0.
y' = 6cos a(-sin a) - 8sin a*cos a
y' = -6sin a*cos a - 8sin a*cos a = -14sin a*cos a
y' = -7*sin 2a = 0
sin 2a = 0
2a = π*k; k ∈ Z
a = π/2*k; k ∈ Z
При четных k = 2n будет:
a = π/2*2n = π*n
sin(π*n) = 0 независимо от значения n.
cos(π*n) = 1, если n четное, и = -1, если n нечетное.
В обоих случаях cos^2 (π*n) = 1.
y = 3cos^2 (π*n) - 4sin^2 (π*n) = 3*1 - 4*0 = 3
При нечетных k = 2n + 1 будет:
a = π/2*(2n + 1) = π*n + π/2
cos(π*n + π/2) = 0 независимо от значения n.
sin(π*n + π/2) = 1, если n четное, и = -1, если n нечетное.
В обоих случаях sin^2 (π*n + π/2) = 1.
y = 3cos^2 a - 4sin^2 a = 3*0 - 4*1 = -4
Получили: Наибольшее значение выражения равно 3.
Наименьшее значение выражения равно -4.