Задача 75553 Решите по-братски это все...
Условие
Решение
a*sqrt(2), а диагональ всего куба равна a*sqrt(3).
Если диагональ грани куба равна sqrt(6) = sqrt(3)*sqrt(2), то диагональ куба равна sqrt(3)*sqrt(3) = 3
Ответ: 3
2) В правильной треугольной пирамиде все стороны основания равны: AB = BC = AC = 7, AQ = BQ = 3,5.
Все боковые рёбра тоже равны друг другу: AS = BS = CS.
Боковая поверхность пирамиды - это 3 одинаковых треугольника - боковых грани.
S(бок) = 3*S(ABS) = 42
S(ABS) = 42/3 = 14
Но, с другой стороны, площадь треугольника можно найти:
S(ABS) = AB*h/2
Причем высота боковой грани - это и есть отрезок SQ.
Высота, она же медиана и биссектриса равнобедренного треугольника.
S(ABS) = AB*SQ/2
7*SQ/2 = 14
Отсюда высота боковой грани:
SQ = 14*2/7 = 4
Ответ: 4
3) К счастью, точки D и М1 находятся на одной грани, поэтому задача превращается в плоскую.
Смотрите рисунок 1.
Отрезок DM1 показан красным.
Проводим вертикальный отрезок MH, он показан зелёным.
HD = MK + KD1 = 1 + 2 = 3
MH = AA1 = 2
M1H = MM1 + MH = 2 + 2 = 4
Получили прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Его гипотенуза: DM1 = 5
Ответ: 5
4) В 6-угольной пирамиде все рёбра равны 1.
Нужно найти угол между прямыми AA1 и BD.
Смотрите рисунок 2.
Рёбра AA1 и BD обозначены красным.
Перенесем прямую BD параллельно, получим AE.
Она показана зелёным.
На рисунке они не совсем параллельны, но это только потому, что я рисую плохо.
На самом деле в правильном 6-угольнике эти отрезки параллельны друг другу.
Угол между прямыми AA1 и AE, очевидно, равен 90°.
И длины рёбер призмы здесь не нужны. Даже не важно, что рёбра все равны друг другу.
Вообще, есть теорема: Если прямая (AA1) ⊥ плоскости, то любая прямая, лежащая в плоскости (BD или AE), будет перпендикулярна к прямой AA1.
Поэтому можно было и не переносить: BD ⊥ AA1.
Ответ: 90°
5) В правильной треугольной призме все рёбра равны 1.
Нужно найти угол между рёбрами BC и A1C1.
Смотрите рисунок 3.
Рёбра BC и A1C1 обозначены красным.
Перенесем прямую BC параллельно, получим B1C1.
Она показана зелёным.
Угол между прямыми B1C1 и A1C1, очевидно, равен 60°, потому что треугольник A1B1C1 - равносторонний.
Ответ: 60°
6) В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1.
Нужно найти угол между рёбрами SD и AC.
Смотрите рисунок 4.
Рёбра SD и AC обозначены красным.
В основании пирамиды лежит квадрат ABCD.
Диагонали квадрата перпендикулярны: AC ⊥ BD.
Это значит, что диагональ АС ⊥ плоскости BDS.
Ребро SD лежит в плоскости BDS.
Как мы знаем из задачи 4, если прямая ⊥ плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости.
Поэтому AC ⊥ SD и угол между ними равен 90°.
Ответ: 90°
7) Нужно найти угол между прямыми AE и C2D2.
Рисунок сложный, но можно его и не перерисовывать.
Переносим отрезок C2D2 вниз, на 1 этаж.
D2 попадёт в точку F, а С2 в точку C0 на отрезке EF.
Угол между AE и C2D2 равен углу между AE и EF.
Но треугольник AEF - равнобедренный и прямоугольный, с катетами AF = EF = 2.
Поэтому угол AEF = 45°
Ответ: 45°
