Задача 75541 матанализ решите быстро ...
Условие
Решение
Пусть (x_(o);y_(o))- точка касания
Составим уравнение касательной
y_(o)=x^2_(o)+x_(o)+6
y`=2x+1
y`(x_(o))=2x_(o)+1
y-y_(o)=y`_(x_(o))*(x-x_(o))
y-x^2_(o)-x_(o)-6=(2x_(o)+1)*(x-x_(o))
y=-x^2_(o)+2x_(o)*x+x+6
По условию касательная проходит через точку А ([b]12[/b]; y_(A))
Подставим координаты точки А в полученное уравнение
y_(A)=-x^2_(o)+2x_(o)*[b]12[/b]+[b]12[/b]+6
y_(A)=-x^2_(o)+24x_(o)+18
точка касания лежит на прямой, проходящей через начало координат
Надо найти две такие точки, с разными абсциссами x_(o), чтобы y_(A) было одно и то же
Очевидно, что одна точка лежит на оси Оу
и
x_(o)=0
y_(A)=18
Абсцисса второй точки
x_(o)=24
⇒
y_(A)=18
О т в е т. y_(A)=18
2
y`=-12/x^3
А(x_(A);y_(A))- точка касания
B(x_(B); y_(B)) - точка пересечения касательной и графика
y_(B)=6/x^2_(B)
Составим уравнение касательной
y(x_(A))=6/x^2_(A)
y`(x_(A))=-12/x^3_(A)
y-(6/x^2_(A)) =( -12/x^3_(A))*(x-x_(A)) - уравнение касательной в точке А
Подставим координаты точки В
(6/x^2_(B))-(6/x^2_(A)) =( -12/x^3_(A))*(x_(B)-x_(A))
По требованию задачи
d=AB=sqrt( (x_(B)-x_(A))^2+(y_(B)-y_(A))^2)
должно быть наименьшим.
⇒ d^2=(x_(B)-x_(A))^2+((y_(B)-y_(A))^2
d^2=(x_(B)-x_(A))^2+((6/x^2_(B))-(6/x^2_(A)))^2)
d^2=(x_(B)-x_(A))^2*(1+(36)/(x_(B)*x_(A))^2)
⇒
x_(B)=x_(A) и тогда d=0
или выражение
1+(36)/(x_(B)*x_(A))^2
принимает наименьшее значение.
3.
A(x_(A);y_(A)) - точка касания на гиперболе
B(x_(B);y_(B))- точка касания на y=sqrt(x)
Составляем уравнения касательных
1) К кривой y=-6/x в точке A(x_(A);y_(A))
2) К кривой y=sqrt(x) в точке B(x_(B);y_(B))
1)
y_(A)=-6/x_(A)
y`=6/x^2
y`(x_(A))=6/x^2_(A)
y- (-6/x_(A))=(6/x^2_(A))*(x-x_(A)) ⇒ y=(6/x^2_(A))*(x-x_(A)) - (6/x_(A))
2)
y_(B)=sqrt(x_(B))
y`=1/(2sqrt(x))
y`(x_(B))=1/(2sqrt(x_(B)))
y-sqrt(x_(B))=1/(2sqrt(x_(B))) * (x-x_(B)) ⇒ y=1/(2sqrt(x_(B))) * (x-x_(B)) + sqrt(x_(B))
Касательная одна и та же
Приравниваем правые части
(6/x^2_(A))*(x-x_(A)) - (6/x_(A)) =1/(2sqrt(x_(B))) * (x-x_(B)) + sqrt(x_(B))
(6/x^2_(A))*x - (12/x_(A)) =(1/2sqrt(x_(B))*x +(1/2)sqrt(x_(B))
⇒
Используем равенство двух многочленов
6/x^2_(A)=1/2sqrt(x_(B)) ⇒ 12sqrt(x_(B))=x^2_(A)
- (12/x_(A)) =(1/2)sqrt(x_(B)) ⇒ -24=x_(A)*sqrt(x_(B)) ⇒ sqrt(x_(B)) =-24/x_(A) и подставляем в первое уравнение
12*(-24/x_(A))=x^2_(A)
x^3_(A)=-288
x_(A)=-sqrt(288)
