Задача 75537 4.3.49 Найти координаты точки эллипса...
Условие
Решение
Значит надо провести касательные, параллельные данной прямой
2x-3y-1=0
Запишем это уравнение как уравнение прямой с угловым коэффициентом
3y=2x-1
y=(2/3)x-(1/3)
k=(2/3)
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты
k_(касательной)=(2/3)
Геометрический смысл производной в точке
f`(x_(o))=k_(касательной)=2/3
Запишем уравнение эллипса в виде
9y^2=72-4x^2
3y=sqrt (72-4x^2) - уравнение дуги эллипса в верхней полуплоскости
f(x)=(1/3)*sqrt (72-4x^2)
f`(x)=(1/3)*(1/2)*(1/sqrt (72-4x^2))* (72-4x^2)` ⇒ y`=(1/6)*(1/sqrt (72-4x^2))* (-8x)
f`(x)=(-4/3)*(x/sqrt (72-4x^2))
f`_(x_(o))=(-4/3)*(x_(o))/sqrt (72-4x^2_(o)))
f`(x_(o))=2/3
(-4/3)*(x_(o))/sqrt (72-4x^2_(o)))=2/3 ⇒ -2x_(o)=sqrt (72-4x^2_(o))
Иррациональное уравнение.
Имеет смысл при x_(o) <0
Возводим в квадрат
4х^2_(о)=72-4x^2_(o)
8х^2_(о)=72
х^2_(о)=9
Учитывая, что x_(o) <0
⇒ x_(o)=-3
Тогда
y_(o)=(1/3)*sqrt (72-4(-3)^2)=2
Находим расстояние от точки M(-3;2) до прямой по формуле ( см. скрин):
d_(1)=[m]\frac{|2\cdot (-3)-3\cdot 2-1|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}[/m]
Аналогично можно найти вторую точку касания x_(o)=3 ⇒ y_(o)=-2
N(3;-2)
d_(2)=[m]\frac{|2\cdot 3-3\cdot(- 2)-1|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{11}{\sqrt{13}}[/m]
d_(2) < d_(1)
