Задача 75535 ...

65aff0662cb5f04e9538b4f4

1/23/2024 5:17:47 PM

Найти ранг матрицы при различных значениях параметра α

626fab9a354ab65fb2f43abb

1/23/2024 6:49:12 PM

★

[m]\begin{pmatrix}
1 & -3 & 2 & 0 \\
2 & -3 & -1 & 3 \\
3 & -6 & -1 & λ \\
1 & -2 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/m]
Нужно найти определитель этой матрицы.
Сначала найдем определитель матрицы 3х3, вычеркнув строку и столбец с λ.
[m]\begin{vmatrix}
1 & -3 & 2 \\
2 & -3 & -1 \\
1 & -2 & 0 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= 1(-3)*0 + 2*2(-2) + 1(-3)(-1) - 1(-3)*2 - 0*2(-3) - 1(-1)(-2) =
= 0 - 8 + 3 + 6 - 0 - 2 = -1 ≠ 0
Значит, ранг матрицы 4х4 равен как минимум 3.
Теперь ищем определитель всей матрицы 4х4.
Если при каком-то λ он равен 0, то ранг равен 3.
Если он ни при каком λ не равен 0, то ранг равен 4.
[m]\begin{vmatrix}
1 & -3 & 2 & 0 \\
2 & -3 & -1 & 3 \\
3 & -6 & -1 & λ \\
1 & -2 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix}
-3 & -1 & 3 \\
-6 & -1 & λ \\
-2 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \\
3 & -1 & λ \\
1 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix} + [/m]
[m]+ 2 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -3 & 3 \\
3 & -6 & λ \\
1 & -2 & 1 \\
\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -3 & -1\\
3 & -6 & -1\\
1 & -2 & 0\\
\end{vmatrix} =[/m]
= (-3)(-1)*1+3*0(-5)-2(-1)*λ -(-2)(-1)*3-(-3)*0*λ - 1(-1)(-6) +
+ 3*[2(-1)*1 + 3*3*0 + 1(-1)*λ - 1(-1)*3 - 1*3(-1) - 2(-2)*λ] +
+ 2*[2(-6)*1+3*3(-2)+1(-3)*λ - 1(-6)*3-1*3(-3) - 2(-2)*λ] - 0 =

= 3 + 0 + 2λ - 6 - 0 - 6 + 3(-2 + 0 - λ + 3 + 3 + 4λ) +
+ 2(-12 - 18 - 3λ+ 18+ 9 + 4λ) = 2λ - 9 + 3(4+3λ) + 2(-3+λ) =

= 2λ - 9 + 12 + 9λ - 6 + 2λ = 13λ - 3 = 0

Ответ: При λ = 3/13 эта матрица будет иметь ранг 3.
При всех остальных λ она имеет ранг 4.

6585beb9f927987e77b37b26

1/23/2024 6:05:08 PM

при любых значениях α ранг матрицы будет равен 4
если надо расписать более подробно- пишите

Ответ: 4