Задача 75499 600 баллов за контрольную по математике...
Условие
Решение
1) 841x^2 - 400y^2 = 336400
x^2/400 - y^2/841 = 1
a) Это гипербола, с центром О(0; 0)
b) Полуоси a = sqrt(400) = 20; b = sqrt(841) = 29
Фокальный радиус
c = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(400 + 841) = sqrt(1241) ≈ 35,22
с) Фокусы F1(-sqrt(1241); 0); F2(sqrt(1241); 0)
d) Эксцентриситет ε = c/a = sqrt(1241)/20
e) Уравнения директрис:
x = -a/ε = -20 : (sqrt(1241)/20) = -400/sqrt(1241)
x = a/ε = 20 : (sqrt(1241)/20) = 400/sqrt(1241)
f) Фокальный параметр p = b^2/a = 841/20
g) Уравнения асимптот
y = b/a*x = 29/20*x; y = -b/a*x = -29/20*x
Рисунок сами стройте.
2) Точки кривой равноудалены от точки А(2; 2) и оси Oy.
Возьмем на кривой точку с координатами M(x; y).
Расстояние |MA| = sqrt((x - 2)^2 + (y - 2)^2)
Расстояние от точки М до оси Oy равно ее ординате y.
Получаем уравнение:
sqrt((x - 2)^2 + (y - 2)^2) = y
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = y^2
(x - 2)^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2
(x - 2)^2 - 4y + 4 = 0
(x - 2)^2 = 4y - 4 = 4(y - 1)
(x - 2)^2 = 2*2(y - 1)
Это каноническое уравнение параболы с вершиной (2; 1) и параметром p = 2.
Так как y в 1 степени, а x в квадрате, то ветви параболы направлены вверх, а не вправо, как обычно.
3) Это я не знаю
4) x^2/900 + y^2/225 = 1
Это эллипс с полуосями a = sqrt(900) = 30; b = sqrt(225) = 15
Его вершина на большой оси, имеет координаты M(30; 0)
Это вершина прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника.
Катеты этого треугольника имеют уравнения:
y1 = -x + 30; y2 = x - 30
Находим точку пересечения эллипса с катетом.
Заметим, что должно быть x < 30:
1)
{ x^2/900 + y^2/225 = 1
{ y = -x + 30
x^2/900 + (-x + 30)^2/225 = 1
Умножаем всё уравнение на 900:
x^2 + 4(x^2 - 60x + 900) = 900
5x^2 - 240x + 3600 - 900 = 0
Сокращаем на 5:
x^2 - 48x + 540 = 0
D/4 = (-24)^2 - 540 = 576 - 540 = 36 = 6^2
x1 = (24 - 6)/1 = 18; y1 = -x + 30 = -18 + 30 = 12
x2 = (24 + 6)/1 = 30 - не подходит, x < 30.
Точка пересечения: M1(18; 12)
Длина этого катета:
|MM1| = sqrt((30-18)^2 + (0-12)^2) = sqrt(12^2 + 12^2) = 12sqrt(2)
Так как треугольник равнобедренный, 2-ой катет такой же.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S = |MM1|*|MM1|/2 = (12sqrt(2))^2/2 = 144*2/2 = 144
5) F(1; -2); d: 2x - 2y + 2 = 0; m : n = 2 : 1
Уравнение прямой можно сократить на 2:
d: x - y + 1 = 0
Коэффициенты этой прямой: A = 1; B = -1; C = 1
Расстояние от точки кривой до точки F должно быть в 2 раза больше, чем расстояние от точки кривой до прямой d.
Обозначим точку кривой M(x; y)
[m]|FM| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2}[/m]
Расстояние от точки М(x; y) до прямой d:
[m]L = \frac{Ax + By + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{x - y + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{x - y + 1}{\sqrt{2}}[/m]
Получаем уравнение:
Расстояние от точки кривой до точки F должно быть в 2 раза больше, чем расстояние от точки кривой до прямой d.
Получаем уравнение:
[m]\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2} = 2 \cdot \frac{x - y + 1}{\sqrt{2}}[/m]
Умножаем на sqrt(2):
[m]\sqrt{2}\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2} = 2(x - y + 1)[/m]
Возводим в квадрат:
2(x^2- 2x+1+y^2+4y+4) = 4(x^2-2xy+y^2+2x-2y+1)
x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = 2(x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 2y + 1)
x^2 - 2x + y^2 + 4y + 5 = 2x^2 - 4xy + 2y^2 + 4x - 4y + 2
Группируем всё вместе, с другой стороны оставляем 0:
x^2 - 4xy + y^2 + 6x - 8y - 3 = 0
Теперь нужно избавиться от члена xy и получим каноническое уравнение.
Чтобы это сделать, нужно сделать замену:
{ x = x'*cos a - y'*sin a
{ y = x'*sin a + y'*cos a
Более подробно я рассмотрю этот метов в 10 номере.
Я построил график и оказалось, что это гипербола, угол поворота a = π/4.
sin a = 1/sqrt(2); cos a = 1/sqrt(2); sin a*cos a = 1/2
Сделать это я оставляю вам.
6) Г: x^2 = -12y; L: 3x - 2y + 17 = 0
Нужно доказать, что кривая и прямая не пересекаются.
Для этого решаем систему:
{ x^2 = -12y
{ 3x - 2y + 17 = 0
Выразим y через x в 1 уравнении:
И подставим во 2 уравнение:
{ y = -x^2/12
{ 3x + x^2/6 + 17 = 0
x^2 + 18x + 102 = 0
D/4 = 9^2 - 102 = 81 - 102 < 0
Это уравнение не имеет решений, значит, кривая и прямая не пересекаются.
А вот найти ближайшую точку и расстояние сложнее.
7) Г: x^2/5 + y^2/1 = 1; M(5; -4)
Нужно найти уравнение касательной к кривой, проходящей через точку M.
Выразим y через x.
x^2 + 5y^2 = 5
y^2 = (5 - x^2)/5
Так как у точки М абсцисса 5 > 0, а ордината -4 < 0, то уравнение нужно записать в таком виде:
[m]y=-\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5-x^2}[/m]
[m]y' = -\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{5-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{x}{\sqrt{5-x^2}}[/m]
Уравнение касательной через точку выражается так:
f(x) = y0 + y'(x0)(x - x0)
Здесь M0(x0; y0) - это точка пересечения кривой и касательной.
Но мы знаем, что касательная проходит через М(5; -4).
-4 = y0 + y'(x0)(5 - x0)
[m]-4 = -\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5-x0^2} + \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{x0}{\sqrt{5-x0^2}} \cdot (5 - x0)[/m]
Надо решить это уравнение и найти x0, а потом y0 и y'(x0).
В итоге уравнение касательной будет такое:
f(x) = y0 + y'(x0)(x - x0)
8) Это я не знаю.
9) Тоже не знаю.
10) 3x^2 + 3y^2 + 2xy - 12x - 4y + 1 = 0
Как уже было сказано в 5), нужно делать замену:
{ x = x'*cos a - y'*sin a
{ y = x'*sin a + y'*cos a
3(x'cos a - y'sin a)^2 + 3(x'sin a + y'cos a)^2 +
+ 2(x'cos a - y'sin a)(x'sin a + y'cos a) -
- 12(x'cos a - y'sin a) - 4(x'sin a + y'cos a) + 1 = 0
Раскрываем квадраты и делаем умножение:
3(x'^2cos^2 a - 2x'y'sin a*cos a + y'^2sin^2 a) +
+ 3(x'^2sin^2 a + 2x'y'sin a*cos a + y'^2cos^2 a) +
+2(x'^2sin a*cos a-x'y'sin^2 a+x'y'cos^2 a-y'^2sin a*cos a)-
- 12x'cos a + 12y'sin a - 4x'sin a - 4y'cos a + 1 = 0
Группируем отдельно x'^2, y'^2, x'y':
x'^2(3cos^2 a + 3sin^2 a + 2sin a*cos a) +
+ x'y'(-6sin a*cos a + 6sin a*cos a - 2sin^2 a + 2cos^2 a) +
+ y'^2(3sin^2 a + 3cos^2 a - 2sin a*cos a) +
+ x'(-12cos a - 4sin a) + y'(12sin a - 4cos a) + 1 = 0
Вспоминаем, что sin^2 a + cos^2 a = 1 и упрощаем:
x'^2(3 + 2sin a*cos a) + x'y'(- 2sin^2 a + 2cos^2 a) +
+ y'^2(3 - 2sin a*cos a) +
+ x'(-12cos a - 4sin a) + y'(12sin a - 4cos a) + 1 = 0
[b]Теперь главный шаг![/b] Скобку при x'y' приравниваем к 0:
- 2sin^2 a + 2cos^2 a = 0
2sin^2 a = 2cos^2 a
sin^2 a = cos^2 a
tg^2 a = 1
Я не могу объяснить, почему но нужно брать значение:
tg a = -1
a = -π/4
На самом деле я построил эту кривую в первоначальном варианте и увидел, что tg a = -1, а не 1.
sin a = -1/sqrt(2); cos a = 1/sqrt(2)
sin^2 a = 1/2; cos^2 a = 1/2; sin a*cos a = -1/2
Подставляем в наше уравнение:
x'^2(3 + 2sin a*cos a) + x'y'(- 2sin^2 a + 2cos^2 a) +
+ y'^2(3 - 2sin a*cos a) +
+ x'(-12cos a - 4sin a) + y'(12sin a - 4cos a) + 1 = 0
Получаем:
x'^2(3 + 2(-1/2)) + x'y'*0 + y'^2(3 - 2(-1/2)) + x'(-12*1/sqrt(2) -
- 4(-1/sqrt(2))) + y'(12(-1/sqrt(2)) - 4*1/sqrt(2)) + 1 = 0
Вычисляем:
x'^2*2 + y'^2*4 - x'*8/sqrt(2) - y'*16/sqrt(2) + 1 = 0
Запишем в более удобном виде:
2x'^2 + 4y'^2 - 4sqrt(2)*x' - 8sqrt(2)*y' + 1 = 0
Выделяем полные квадраты:
2(x'^2 - 2*sqrt(2)*x' + 2 - 2) + 4(y'^2 - 2*sqrt(2)*y' + 2 - 2) + 1 = 0
2(x' - sqrt(2))^2 - 4 + 4(y' - sqrt(2))^2 - 8 + 1 = 0
2(x' - sqrt(2))^2 + 4(y' - sqrt(2))^2 = 11
Делим всё на 11, чтобы справа была 1:
(x' - sqrt(2))^2/(11/2) + (y' - sqrt(2))^2/(11/4) = 1
(x' - sqrt(2))^2/5,5 + (y' - sqrt(2))^2/2,75 = 1
Это эллипс.