Задача 75493 Дана кривая второго...
Условие
a) Приведите кривую второго порядка к каноническому виду.
b) Найдите эксцентриситет кривой.
c) Найдите уравнения директрис.
d) Найдите координаты фокусов кривой.
e) Найдите уравнения асимптот (для гиперболы).
f) Постройте кривую второго порядка, фокусы и директрисы на одном чертеже.
Решение
25x^2 + 16y^2 - 250x - 256y + 1249 = 0
a) Выделяем полные квадраты:
25(x^2-10x+25-25) + 16(y^2-16y+64-64) + 1249 = 0
Сворачиваем квадраты:
25(x - 5)^2 - 625 + 16(y - 8)^2 - 1024 + 1249 = 0
Переносим числа направо:
25(x - 5)^2 + 16(y - 8)^2 = 400
Делим на 400 = 25*16
(x - 5)^2/16 + (y - 8)^2/25 = 1
Это каноническое уравнение эллипса.
Его центр A(5; 8), полуоси a = sqrt(16) = 4; b = sqrt(25) = 5
b > a, поэтому фокальный радиус:
c = sqrt(b^2 - a^2) = sqrt(5^2 - 4^2) = sqrt(25 - 16) = sqrt(9) = 3
b) Эксцентриситет: ε = c/b = 3/5
c) b > a и центр сдвинут по y на 8, поэтому директрисы будут параллельны оси Ox, а не Oy, как обычно.
Уравнения директрис:
y = -b/ε + 8 = -5 : (3/5) + 8 = -25/3 + 8 = -25/3 + 24/3 = -1/3;
y = b/ε + 8 = 5 : (3/5) + 8 = 25/3 + 8 = 25/3 + 24/3 = 49/3
d) Фокусы будут расположены вертикально от центра A:
F1(5; 8-c) = (5; 8-3) = (5; 5); F2(5; 8+c) = (5; 8+3) = (5; 11)
e) Асимптот у эллипса нет.
f) Построение на графике.
