Задача 75492 Задание номер 3 : Дано комплексное число...
Условие
Решение
на (-2-i·2√3)
В знаменателе формула разности квадратов:
(-2+i·2√3)(-2-i·2√3)=(-2)^2–(i·2√3)^2=4–12i^2=4+12=16
i^2=-1
получим
z=16(-2-i·2√3)/16=-2-i·2√3 – это алгебраическая форма
z=x+iy
x=-2
y=-2√3
|z|=√(x^2+y^2)=√((-2)^2+(-2√3)^2)=sqrt(16)=4
cos φ =x/|z|=-2/4=-1/2
sin φ =y/|z|=-2√3/4=-√3/2 угол в третьей четверти
⇒ φ =-2π/3
z=4·(cos(-2π/3)+isin(-2π/3)) – тригонометрическая форма
========
w^3=z
Применяем формулу Муавра.
∛(-2-i·2√3)=∛4·[m](cos\frac{(-\frac{2π}{3})+2πk}{3}+isin\frac{(-\frac{2π}{3})+2πk}{3}), k ∈[/m] Z
при k=0
первый корень
z_(o)=∛4·[m](cos\frac{(-\frac{2π}{3})}{3}+isin\frac{(-\frac{2π}{3})}{3})=[/m]∛4·[m](cos\frac{(-2π)}{9}+isin\frac{(-2π)}{9})[/m]
при k=1
второй корень
z_(1)=∛4·[m](cos\frac{(-\frac{2π}{3})+2π}{3}+isin\frac{(-\frac{2π}{3})+2π}{3})[/m]=[m]∛4·[m](cos\frac{(4π)}{9}+isin\frac{(4π)}{9})[/m]
при k=2
третий корень
z_(2)=∛4[m](cos[m]\frac{(-\frac{2π}{3})+4π}{3}+isin\frac{(-\frac{2π}{3})+4π}{3})[/m]=∛4·[m](cos\frac{(10π)}{9}+isin\frac{(10π)}{9})[/m]
Корни расположены на окружности радиуса ∛4
Первая точка zo на пересечении окружности радиуса ∛4 и радиуса, образующего угол (-2π/9) c осью Ох
Вторая точка z1 на пересечении окружности радиуса ∛4 и радиуса, образующего угол (4π/9) c осью Ох
Вторая точка z2 на пересечении окружности радиуса ∛4 и радиуса, образующего угол (10π/9 )c осью Ох
Точки zo;z1;z2 делят окружность на [b]три[/b] ( потому что корень третьей степени) равные части, каждая по 120 °