Задача 75488 ...
Условие
Решение
Область определения:
{ x > 0
{ 1 - lg(x) ≠ 0
{ 1 + lg(x) ≠ 0
Решаем:
{ x > 0
{ lg(x) ≠ -1
{ lg(x) ≠ 1
Получаем:
x ∈ (0; 0,1) U (0,1; 10) U (10; +oo)
Чтобы не загромождать решение, заменим:
lg x = y; x = 10^(y)
[m]\frac{1}{1-y} ≤ \frac{2y - 5}{1+y}[/m]
Приводим к общему знаменателю (1-y)(1+y) и переносим всё налево:
[m]\frac{1+y}{(1-y)(1+y)} - \frac{(2y-5)(1-y)}{(1-y)(1+y)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{1+y-2y+5+2y^2-5y}{(1-y)(1+y)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{6-y-5y+2y^2}{(1-y)(1+y)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{2y^2-6y+6}{(1-y)(1+y)} ≤ 0[/m]
Делим на 2:
[m]\frac{y^2-3y+3}{(1-y)(1+y)} ≤ 0[/m]
Решаем квадратное уравнение в числителе:
D = (-3)^2 - 4*1*3 = 9 - 12 < 0
Оно решений не имеет.
y^2 - 3y + 3 > 0 при любом y.
Можно на него разделить, при этом знак неравенства не меняется.
[m]\frac{1}{(1-y)(1+y)} ≤ 0[/m]
Получаем такое решение неравенства:
y ∈ (-1; 1)
Отсюда
x ∈ (0,1; 10)