Задача 75478 1. Записать комплексное число в...
Условие
Решение
Сначала преобразуем а в алгебраическую форму
a = x + i*y
[m]a = \frac{-2 \sqrt{2}}{1+i} = -\frac{2 \sqrt{2}(1-i)}{(1+i)(1-i)}= \frac{-2 \sqrt{2}(1-i)}{1-i^2} = \frac{-2 \sqrt{2}(1-i)}{2} = \sqrt{2}(-1 + i)[/m]
Умножаем и делим на sqrt(2):
[m] \sqrt{2}(-1 + i) = 2(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot i)[/m]
В тригонометрической форме:
[m]2(-\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot i) = 2(cos(\frac{3\pi}{4}) + sin(\frac{3\pi}{4}) \cdot i)[/m]
Потому что cos(3π/4) = - 1/sqrt(2); sin(3π/4) = 1/sqrt(2)
|a| = 2, arg a = 3π/4
В показательной форме:
[m]2(cos(\frac{3\pi}{4}) + sin(\frac{3\pi}{4}) \cdot i) = 2e^{3\pi /4 \cdot i}[/m]
На картинке показан радиус |a| = 2 и угол arg a = 3π/4.
По формуле Муавра для степеней:
[m]a^5 = 2^5(cos(\frac{15\pi}{4}) + sin(\frac{15\pi}{4}) \cdot i) = 32(cos(\frac{7\pi}{4}) + sin(\frac{7\pi}{4}) \cdot i)[/m]
Решаем уравнение:
z^3 - a = 0
z^3 = a
[m]z^3 = 2(cos(\frac{3\pi}{4}) + sin(\frac{3\pi}{4}) \cdot i)[/m]
По формуле Муавра для корней:
[m]z = \sqrt[3]{2}(cos(\frac{3\pi /4 + 2\pi \cdot n}{3}) + sin(\frac{3\pi /4 + 2\pi \cdot n}{3}) \cdot i)[/m]
Подставляя n = 0, 1, 2, получаем 3 решения:
[m]z1 = \sqrt[3]{2}(cos(\frac{3\pi /4 + 2\pi \cdot 0}{3}) + sin(\frac{3\pi /4 + 2\pi \cdot 0}{3}) \cdot i) = \sqrt[3]{2}(cos(\frac{\pi}{4}) + sin(\frac{\pi}{4}) \cdot i)[/m]
[m]z2 = \sqrt[3]{2}(cos(\frac{3\pi /4 + 2\pi \cdot 1}{3}) + sin(\frac{3\pi /4 + 2\pi \cdot 1}{3}) \cdot i) = \sqrt[3]{2}(cos(\frac{11\pi}{12}) + sin(\frac{11\pi}{12}) \cdot i) [/m]
[m]z3 = \sqrt[3]{2}(cos(\frac{3\pi /4 + 2\pi \cdot 2}{3}) + sin(\frac{3\pi /4 + 2\pi \cdot 2}{3}) \cdot i) = \sqrt[3]{2}(cos(\frac{19\pi}{12}) + sin(\frac{19\pi}{12}) \cdot i)[/m]
