Задача 75428 3. Решить уравнение....
Условие
Решение
Выразим правую часть в тригонометрическом виде:
z^3 = 2*(sqrt(3)/2 - 1/2*i)
z^3 = 2*(cos(11π/6) + i*sin(11π/6))
По формуле Муавра для корней:
[m]z = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{11\pi/6 + 2\pi \cdot n}{3} + i \cdot \sin \frac{11\pi/6 + 2\pi \cdot n}{3})[/m]
Подставляем n = 0, 1, 2 и получаем 3 решения:
[m]z1 = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{11\pi/6}{3} + i \cdot \sin \frac{11\pi/6}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{11\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{11\pi}{18})[/m]
[m]z2 = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{11\pi/6 + 2\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{11\pi/6 + 2\pi}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{23\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{23\pi}{18})[/m]
[m]z3 = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{11\pi/6 + 4\pi}{3} + i \cdot \sin \frac{11\pi/6 + 4\pi}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos \frac{35\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{35\pi}{18})[/m]