Задача 75417 ху^3+x(x^2y^2-y^2)y'=0...
Условие
Решение
Я не знаю, можно ли сокращать x и y, думаю, что можно.
xy^3 + x(xy^2 - y^2)*y' = 0
xy^2*y + xy^2*(x - y)*y' = 0
Сокращаем xy^2
y + (x - y)*y' = 0
y = y'*(y - x)
[m]y' = \frac{y}{y - x}[/m]
Чтобы проверить, однородное уравнение или нет, нужно заменить все x на kx, а все y на ky. А потом сократить.
Если в результате получится тоже самое уравнение, то оно однородное.
[m]y' = \frac{ky}{ky - kx} = \frac{ky}{k(y - x)} = \frac{y}{y - x}[/m]
Это однородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой: t = y/x; y = tx; y' = t'*x + t
[m]t' \cdot x + t = \frac{tx}{tx - x}[/m]
Опять сокращаем x:
[m]t' \cdot x + t = \frac{t}{t - 1}[/m]
Выделяем t'*x:
[m]t' \cdot x = \frac{t}{t - 1} - t[/m]
[m]t' \cdot x = \frac{t - t^2 + t}{t - 1}[/m]
[m]\frac{dt}{dx} \cdot x = \frac{2t - t^2}{t - 1}[/m]
[m]\frac{(t - 1)dt}{-t^2+2t} = \frac{dx}{x}[/m]
Это уравнение с разделенными переменными.
Осталось взять интегралы слева и справа и получить функцию t(x) в неявной форме.
А затем из него заменой t = y/x получим неявную y(x).
Это я вам предоставлю сделать самому, а сам дам ответ:
[m]t = \frac{2}{1 - Cx^2}[/m]
[m]y = \frac{2x}{1 - Cx^2}[/m]