Задача 75410 1)Составить уравнение прямой, которая...
Условие
2). Доказать, что прямые
(x-1)/2=(y+2)/(-3)=(z-5)/(4) и x=3t+7, y=2t+2, z=-2t+1
лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости. РЕШИТЕ!!! в течении 30 минут
Решение
2х + 2у —3 = 0. ⇒ 2y=-2x+3
y=-x+(3/2)
k=-1
[b]k_(касательной)=-1[/b]
у^2 = 8х ⇒ y= ± sqrt(8x)
y`= ± [m]\frac{1}{2\sqrt{8x}}\cdot (8x)`[/m]
y`= ± [m]\frac{8}{4\sqrt{2x}}[/m]
[b]y`(x_(o))=k_(касательной)[/b]
[m] ± \frac{2}{\sqrt{2x_{o}}}=-1[/m] ⇒ [m]-2=-\sqrt{2x_{o}}[/m] или [m]2=-\sqrt{2x_{o}}[/m] ( не имеет решений)
[m]-2=-\sqrt{2x_{o}}[/m]
[m]x_{o}=2[/m]
[m]y_(2)=-\sqrt{8*2}=-4[/m]
[m]y+4=-(x-2)[/m]
[m]y=-x-2[/m]- уравнение касательной
2.
Прямая
(x–1)/2=(y+2)/(–3)=(z–5)/(4)
задана каноническим уравнением
Значит направляющий вектор прямой
vector{s_(1)}=(2;(-3);4)
A(1;-2;5) - точка принадлежащая этой прямой
Прямая
x=3t+7, y=2t+2, z=–2t+1
задана параметрически
Значит направляющий вектор прямой
vector{s_(2)}=(3;2;-2)
B(7;2;1) - точка принадлежащая этой прямой
Прямые принадлежат одной плоскости, если векторы
vector{s_(1)}=(2;(-3);4)
vector{s_(2)}=(3;2;-2)
vector{AB}=(7-1;2-(-2);1-5)
[b]компланарны[/b]
А это значит, что смешанное произведение векторов равно 0
Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами - определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов
[m]\begin {vmatrix} 2&-3&4\\3&2&-2\\6&4&-4\end {vmatrix}=-16+36+48-48+16-36=0[/m] ⇒ да, компланарны.
Пусть M ( x;y;z) - произвольная точка плоскости
vector{AM}=(x-1; y-(-2); z-5) принадлежит этой плоскости
и векторы
vector{s_(1)}=(2;(-3);4)
vector{s_(2)}=(3;2;-2)
vector{AM}=(x-1; y-(-2); z-5)
компланарны.
Значит
[m]\begin {vmatrix} 2&-3&4\\3&2&-2\\x-1&y+2&z-5\end {vmatrix}=0[/m]
Раскрываем определитель по правилу треугольника
4(z-5)+12(y+2)+6(x-1)-8(x-1)+4(y+2)+9(z-5)=0
-2(x-1)+16(y+2)+13(z-5)=0
-2x+16y+13z-31=0
[b]2x-16y-13z+31=0[/b]