Задача 75400 В прямоугольном параллелепипеде...

65a6a845d2c3730ce11fd275

1/16/2024 4:02:14 PM

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между АС и BC1, если DC=3, BC=7, AA1=5.
MN

626fab9a354ab65fb2f43abb

1/16/2024 5:53:12 PM

★

Дано: AB = DC = 3, BC = AD = 7; AA1 = DD1 = 5
Найти: Угол между прямыми AC и BC1.
Эти две прямые проведены красным цветом.
Решение: Смотрите рисунок.
1) Переносим прямую BC1 параллельно на другую плоскость, получаем прямую AD1.
Угол между AC и BC1 такой же, как угол между AC и AD1.
2) Проводим прямую CD1, получаем треугольник ACD1.
Эти две прямые проведены синим цветом.
3) Стороны ACD1 нам известны из теоремы Пифагора:
AC^2 = AD^2 + CD^2 = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58
[b]AC = sqrt(58)[/b]
CD1^2 = CD^2 + DD1^2 = 3^3 + 5^2 = 9 + 25 = 34
[b]CD = sqrt(34)[/b]
AD1^2 = AD^2 + DD1^2 = 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74
[b]AD1 = sqrt(74)[/b]
4) Из теоремы косинусов находим угол CAD1.
Угол показан синей дугой:
CD1^2 = AC^2 + AD1^2 - 2*AC*AD1*cos CAD1
34 = 58 + 74 - 2*sqrt(58)*sqrt(74)*cos CAD1
2*sqrt(58)*sqrt(74)*cos CAD1 = 58 + 74 - 34
2*sqrt(58)*sqrt(74)*cos CAD1 = 98
sqrt(58)*sqrt(74)*cos CAD1 = 98 : 2 = 49
cos CAD1 = 49/(sqrt(58)*sqrt(74))
cos CAD1 = 49/sqrt(4292)
cos CAD1 ≈ 0,7479
CAD ≈ 41,6°
Это можно найти по таблицам Брадиса или на калькуляторе.