Задача 75373 18. Найдите значения a, при каждом из...
Условие
Решение
[m]\frac{5-a+(a^2+2a-1)cosx}{sin^2x+a^2+2}-1<0[/m]
[m]\frac{5-a+(a^2+2a-1)cosx-sin^2x-a^2-2}{sin^2x+a^2+2}<0[/m]
Так как [m]sin^2x=1-cos^2x[/m]
[m]\frac{5-a+(a^2+2a-1)cosx-1+cos^2x-a^2-2}{sin^2x+a^2+2}<0[/m]
[m]\frac{cos^2x+(a^2+2a-1)cosx-a^2-a+2}{sin^2x+a^2+2}<0[/m]
Так как [m]sin^2x+a^2+2>0[/m] при любом [m]a[/m]
то
[m]cos^2x+(a^2+2a-1)cosx-a^2-a+2<0[/m]
Рассмотрим функцию
[m] f(x)=cos^2x+(a^2+2a-1)cosx-a^2-a+2[/m] Это квадратичная функция
[m]t=cosx[/m]
x ∈ [m][\frac{2π}{3};\frac{3π}{2}][/m]
на отрезке [m][\frac{2π}{3};π][/m] функция [m]t=cosx[/m] убывает
на отрезке [m][π;\frac{3π}{2}][/m] функция [m]t=cosx[/m] возрастает
[m] f(t)=t^2+(a^2+2a-1)t-a^2-a+2[/m]
график - парабола, ветви параболы направлены [i]вверх[/i]
f(x) ≤ 0 на [m][\frac{2π}{3};\frac{3π}{2}][/m] ⇒
[m] f(\frac{2π}{3})=cos^2(\frac{2π}{3})+(a^2+2a-1)cos(\frac{2π}{3})-a^2-a+2 ≤0 [/m]
[m] f(\frac{3π}{2})=cos^2(\frac{3π}{2})+(a^2+2a-1)cos(\frac{3π}{2})-a^2-a+2 ≤0 [/m]
и значение в точке [b] x=π [/b] тоже отрицательно
[m] f(π)=cos^2(π)+(a^2+2a-1)cos(π)-a^2-a+2 ≤0 [/m]
Получили систему неравенств, ограничивающих а
{[m](-\frac{1}{2})^2+(a^2+2a-1)\cdot (-\frac{1}{2})-a^2-a+2 ≤0 [/m] ⇒
{[m]-a^2-a+2≤0 [/m] ⇒
{[m] 1-(a^2+2a-1)-a^2-a+2 ≤0 [/m] ⇒