Задача 75350 ИДЗ 6 Полярная система координат...
Условие
Решение
Все решения
ρ ≥ 0 ⇒
[m]\frac{4}{2-3cosφ} ≥ 0 [/m] ⇒ [m]2-3cos φ > 0[/m] ⇒[m] -arccos\frac{2}{3}+2πn< cosφ< arccos\frac{2}{3}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
[m] φ = \frac{π}{8} [/m] ⇒[m]cos\frac{π}{8} ≈0,92>\frac{2}{3}[/m] не входит в указанный промежуток
[m] φ = \frac{π}{4} [/m]⇒[m]cos\frac{π}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2} ≈0,7>\frac{2}{3}[/m] не входит в указанный промежуток
[m] φ = \frac{3π}{8} [/m] ⇒[m]cos\frac{3π}{8} ≈0,38<\frac{2}{3}[/m]
[m]ρ ( \frac{3π}{8})=\frac{4}{2-3cos \frac{π}{4}} ≈\frac{4}{2-3\cdot 0,38} =\frac{4}{0,86}=4,7[/m]
на луче [m] φ = \frac{3π}{8} [/m] откладываем расстояние ρ≈4,7
получаем точку A (3π/8;4,7)
[m] φ = \frac{π}{2} [/m]⇒ [m]cos \frac{π}{2} =0[/m]
[m]ρ( \frac{π}{2})=\frac{4}{2-3cos \frac{π}{2}} =\frac{4}{2-3\cdot 0} =\frac{4}{2}=2[/m]
На луче φ =π/2 откладываем расстояние ρ=2
получаем точку B (π/2;2)
[m] φ = \frac{5π}{8} [/m]⇒[m]cos\frac{5π}{8} ≈-0,38[/m]
[m]ρ ( \frac{5π}{8})=\frac{4}{2-3cos \frac{5π}{8}} ≈\frac{4}{2-3\cdot(- 0,38)}=\frac{4}{3,14}=[/m]
[m] φ = \frac{3π}{4} [/m]⇒[m]cos\frac{3π}{4} ≈-0,7[/m]
[m]ρ( \frac{3π}{4}) ≈\frac{4}{2-3\cdot(- 0,7)}=4/4,1≈1[/m]
На луче φ =3π/4 откладываем расстояние ρ≈1
получаем точку D (3π/4;1)
[m] φ = \frac{7π}{8} [/m]⇒[m]cos\frac{7π}{8} ≈-0,92[/m]
[m]ρ( \frac{3π}{4}) ≈ \frac{4}{2-3\cdot(- 0,92)}=4/4,88[/m]
На луче φ =7π/8 откладываем расстояние ρ≈4/4,88
получаем точку (7π/8;4/4,88)
φ =π⇒ cosπ=-1
[m]ρ( π) =\frac{ 4}{2-3*(-1)}=\frac{4}{5}[/m]
На луче φ =π откладываем расстояние ρ=4/5
получаем точку (π; 4/5)
и так далее
б)
Переход от полярной системы координат к декартовой
x=ρ·cos φ
y=ρ·sin φ
x^2+y^2=ρ^2⇒ [m]ρ=\sqrt{x^2+y^2}[/m]
[m]cosφ =\frac{x}{ρ}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/m]
Подставляем в данное уравнение:
[m]\sqrt{x^2+y^2}=\frac{4}{2- 3\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}[/m]
Упрощаем
[m]\sqrt{x^2+y^2}\cdot (2-3\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})=4[/m]
[m]2\sqrt{x^2+y^2}-3x=4[/m]
[m]2\sqrt{x^2+y^2}=3x+4[/m]
Возводим в квадрат:
[m]4(x^2+y^2)=9x^2+24x+16[/m]
[m]5x^2+24x-4y^2+16=0[/m]
Выделяем полный квадрат
[m]5(x^2+\frac{24}{5}x)-4y^2+16=0[/m]
[m]5(x^2+2\cdot x\cdot \frac{12}{5}x+(\frac{12}{5})^2-(\frac{12}{5})^2)-4y^2+16=0[/m]
[m]5(x+ \frac{12}{5})^2-4y^2+16-\frac{144}{5}=0[/m]
[m]5(x+ \frac{12}{5})^2-4y^2=\frac{64}{5}[/m]
Делим на [m]\frac{64}{5}[/m]
[m]\frac{5(x+\frac{12}{5})}{\frac{64}{5}}-\frac{4y^2}{\frac{64}{5}}=1[/m]
[m]\frac{x+\frac{12}{5}}{\frac{64}{25}}-\frac{y^2}{\frac{16}{5}}=1[/m]
- каноническое уравнение [i]гиперболы[/i]
[i]c центром[/i] [m](\frac{12}{5};0)[/m]
[m]a=\frac{8}{5}[/m] - [i]действительная полуось[/i]
[m]b=\frac{4}{\sqrt{5}}[/m] - [i]мнимая полуось
[/i]
