Задача 75348 ...
Условие
2) Найдите уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению определите вид кривой.
Решение
ρ ≥ 0 ⇒
[m]\frac{1}{2+2cosφ} ≥ 0 [/m] ⇒ [m]2+2cos φ > 0[/m] ⇒[m] cos φ>-1 [/m]⇒[m] cos φ ≠ -1 [/m]
[m] φ = 0 [/m] ⇒[m]cos0=1[/m]
[m]ρ ( 0)=\frac{1}{2+2cos0} ≈\frac{1}{2+2\cdot 1} =\frac{1}{4}≈0,25[m]
на луче [m] φ = 0 [/m] откладываем расстояние ρ≈0,26
получаем точку A (0;0,25)
[m] φ = \frac{π}{8} [/m] ⇒[m]cos\frac{π}{8} ≈0,92[/m]
[m]ρ ( \frac{π}{8})=\frac{1}{2+2cos \frac{π}{8}} ≈\frac{1}{2+2\cdot 0,92} =\frac{1}{3,84}≈0,26[/m]
на луче [m] φ = \frac{π}{8} [/m] откладываем расстояние ρ≈0,26
получаем точку B (π/8;0,26)
[m] φ = \frac{π}{4} [/m]⇒[m]cos\frac{π}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2} ≈0,7[/m]
[m]ρ ( \frac{π}{4})=\frac{1}{2+2cos \frac{π}{4}} ≈\frac{1}{2+2\cdot 0,7} =\frac{1}{3,4}≈0,3[m]
на луче [m] φ = \frac{π}{4} [/m] откладываем расстояние ρ≈0,3
получаем точку C (π/4;0,3)
[m] φ = \frac{3π}{8} [/m] ⇒[m]cos\frac{3π}{8} ≈0,38[/m]
[m]ρ ( \frac{3π}{8})=\frac{1}{2+2cos \frac{3π}{8}} ≈\frac{1}{2+2\cdot 0,38} =\frac{1}{2,76}=0,36[m]
на луче [m] φ = \frac{3π}{8} [/m] откладываем расстояние ρ≈0,36
получаем точку D (3π/8; 0,36)
[m] φ = \frac{π}{2} [/m]⇒ [m]cos \frac{π}{2} =0[/m]
[m]ρ( \frac{π}{2})=\frac{1}{2+2cos \frac{π}{2}} =\frac{1}{2+2\cdot 0} =\frac{1}{2}=0,5[/m]
На луче [m] φ = \frac{π}{2} [/m] откладываем расстояние ρ=0,5
получаем точку E (π/2; 0,5)
[m] φ = \frac{5π}{8} [/m]⇒[m]cos\frac{5π}{8} ≈-0,38[/m]
[m]ρ ( \frac{5π}{8})=\frac{1}{2+2cos \frac{5π}{8}} ≈\frac{1}{2+2\cdot(- 0,38)}=\frac{1}{1,24}=0,8[/m]
на луче [m] φ = \frac{5π}{8} [/m] откладываем расстояние ρ≈0,8
получаем точку F (5π/8; 0,8)
[m] φ = \frac{3π}{4} [/m]⇒[m]cos\frac{3π}{4} ≈-0,7[/m]
[m]ρ( \frac{3π}{4}) = \frac{1}{2+2cos \frac{3π}{4}} ≈\frac{1}{2+2\cdot(- 0,7)}=\frac{1}{0,6}=1,7[/m]
На луче [m] φ = \frac{3π}{4} [/m] откладываем расстояние ρ≈1,7
получаем точку K (3π/4;1,7)
[m] φ = \frac{7π}{8} [/m]⇒[m]cos\frac{7π}{8} ≈-0,92[/m]
[m]ρ( \frac{3π}{4}) ≈ \frac{1}{2+2\cdot(- 0,92)}=\frac{1}{0,16}=6,25[/m]
На луче [m] φ = \frac{7π}{8} [/m] откладываем расстояние ρ≈6,25
получаем точку M (7π/8;6,25)
точно так же рассматриваем углы
[m] φ =- \frac{π}{8} [/m]
[m] φ =- \frac{π}{4} [/m]
[m] φ =- \frac{3π}{8} [/m]
и так далее
б)
Переход от полярной системы координат к декартовой
x=ρ·cos φ
y=ρ·sin φ
x^2+y^2=ρ^2⇒ [m]ρ=\sqrt{x^2+y^2}[/m]
[m]cosφ =\frac{x}{ρ}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/m]
Подставляем в данное уравнение:
[m]\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2+2\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}[/m]
Упрощаем
[m]\sqrt{x^2+y^2}\cdot (2+2\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})=1[/m]
[m]2\sqrt{x^2+y^2}+2x=1[/m]
[m]2\sqrt{x^2+y^2}=1-2x[/m]
Возводим в квадрат:
[m]4(x^2+y^2)=1-4x+4x^2[/m]
[m]4y^2-1+4x=0[/m]-
[m] x-0,25=-y^2[/m] - каноническое уравнение параболы с вершиной (0,25; 0) и осью симметрии - осью Ох
( см. скрин 2)
