Задача 75323 Исходя из определения производной (не...
Условие
Решение
Производная - это предел отношения изменения функции к изменению аргумента, при изменении аргумента, стремящемся к 0.
[m]y'(x) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/m]
В нашем случае:
f(x) = sqrt(x - 1)
f(x + Δx) = sqrt(x + Δx - 1)
Подставляем в предел:
[m]y'(x) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x - 1} - \sqrt{x - 1}}{\Delta x}[/m]
Домножаем числитель и знаменатель на сумму корней:
[m]y'(x) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{x + \Delta x - 1} - \sqrt{x - 1})(\sqrt{x + \Delta x - 1} + \sqrt{x - 1})}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x - 1} + \sqrt{x - 1})}[/m]
В числителе получили разность квадратов:
[m]y'(x) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{x + \Delta x - 1 - (x - 1)}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x - 1} + \sqrt{x - 1})} = [/m]
[m] = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x - 1} + \sqrt{x - 1})} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x - 1} + \sqrt{x - 1}}[/m]
Можно подставить Δx = 0:
[m]y' = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x - 1} + \sqrt{x - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x + 0 - 1} + \sqrt{x - 1}} = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}[/m]
Таким образом, получили:
[m]y' = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}[/m]
Что и требовалось доказать.