Задача 75314 Задано уравнение плоскости P1, прямой...
Условие
Найти:
1) уравнение плоскости P2, проходящей через точку М параллельно плоскости P1;
2) уравнение плоскости P3. Проходящая через точку М перпендикулярно прямой L1;
3) уравнение прямой L2, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Р1;
4) уравнение прямой L3, проходящей через точку М параллельно прямой L1;
5) точку N пересечения прямой L1 и плоскости P1;
6) расстояние от точки М до плоскости P1: r(М, P1;,);
7) расстояние от точки М до прямой L1: r(М,L1 );
8) проекцию точки М на плоскость P1;
9) проекцию точки М на прямую L1.
P1: 2x – 3y + 7z = 0, L1: x/3=(y+2/–1)=z/4 ,M( – 4, 5, 0)
Решение
Плоскость
P_(1): 2x – 3y + 7z = 0
задана общим уравнением с нормальным вектором vector{n}=(2;-2;7)
Параллельные плоскости имеют одинаковые нормальные векторы.
Уравнение плоскости P_(2), проходящей через точку M( – 4, 5, 0)
имеет вид
2*(x-(-4))+(-2)*(y-5)+7*(z-0)=0
или
2х-2у+7z+18=0
2)
Прямая
L_(1):[m]\frac{ x}{3}=\frac{(y+2)}{(–1)}=\frac{z}{4}[/m]
задана каноническим уравнением с направляющим вектором
vector{s}=(3;-1;4)
Так как плоскость P_(3) перпендикулярна прямой, значит направляющий вектор прямой L_(1)
и есть нормальный вектор плоскости P_(3)
Уравнение плоскости P_(3), проходящей через точку M( – 4, 5, 0) с нормальным вектором vector{n}=vector{s}=(3;-1;4)
имеет вид
3*(x-(-4))+(-1)*(y-5)+4*(z-0)=0
или
3х-у+4z+17=0
3)
Прямая L_(2) перпендикулярна плоскости Р_(1);
значит нормальный вектор плоскости Р_(1) vector{n}=(2;– 3; 7)
становится направляющим вектором прямой L_(2)
Уравнение прямой L_(2) как прямой, проходящей через точку M( – 4, 5, 0) с заданным направляющим вектором
vector{s}=vector{n}=(2;– 3; 7) принимает вид:
[m]\frac{x-(-4)}{2}=\frac{y-5}{(-3)}=\frac{z-0}{7}[/m]
или
[m]\frac{x+4}{2}=\frac{y-5}{(-3)}=\frac{z}{7}[/m]- уравнение прямой L_(2)
4)
Прямая L_(3) параллельны прямой L_(1)
Направляющие векторы параллельных прямых одинаковые.
Прямая
L_(1): x/3=(y+2)/(–1)=z/4
задана каноническим уравнением с направляющим вектором
vector{s}=(3;-1;4)
Уравнение прямой L_(3) как прямой, проходящей через точку M( – 4, 5, 0) с заданным направляющим вектором
vector{s}=(3;-1;4) принимает вид:
[m]\frac{x-(-4)}{3}=\frac{y-5}{(-1)}=\frac{z-0}{4}[/m]
или
[m]\frac{x+4}{3}=\frac{y-5}{(-1)}=\frac{z}{4}[/m]- уравнение прямой L_(3)
5) Чтобы найти точку N - точку пересечения прямой L_(1) и плоскости P_(1)
решаем систему уравнений:
{[m]\frac{ x}{3}=\frac{(y+2)}{(–1)}=\frac{z}{4}[/m]
{2x – 3y + 7z = 0
Запишем уравнение прямой L_(1) параметрически:
вводим параметр t
[m]\frac{ x}{3}=\frac{(y+2)}{(–1)}=\frac{z}{4}=t[/m] ⇒
[m]\frac{x}{3}=t[/m] ⇔ x=3t
[m]\frac{y+2}{(-1)}=t[/m] ⇒ y=-t-2
[m]\frac{z}{4}=t[/m] ⇒ z=4t
и подставим в уравнение плоскости P_(1)
2*(3t)-3*(-t-2)+7*(4t)=0
37t=-6
t=-6/37
x_(N) = 3t = 3*(-6/37)
y_(N) =- t - 2= - ( - 6/37 - 2
z_(N) = 4t =4*(-6/37)
6)
По формуле ( см. скрин)
[m]r=\frac{2\cdot (-4)-3\cdot 5+7\cdot 0|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+7^2}}=\frac{23}{\sqrt{62}}[/m]
7)
Уравнение плоскости P_(3), проходящей через точку М перпендикулярно прямой L_(1) ( см. пункт 2)
3х-у+4z+17=0
Находим точку пересечения прямой L_(1) и плоскости P_(3) так же как точку N ( пункт 5)
{[m]\frac{ x}{3}=\frac{(y+2)}{(–1)}=\frac{z}{4}[/m]
{3х-у+4z+17=0
Запишем уравнение прямой L_(1) параметрически:
вводим параметр t
[m]\frac{ x}{3}=\frac{(y+2)}{(–1)}=\frac{z}{4}=t[/m] ⇒
[m]\frac{x}{3}=t[/m] ⇔ x=3t
[m]\frac{y+2}{(-1)}=t[/m] ⇒ y=-t-2
[m]\frac{z}{4}=t[/m] ⇒ z=4t
и подставим в уравнение плоскости P_(3)
3*3t-(-t-2)+4*4t+17=0
26t=-19
t=-19/26
x_(K)=3t=3*(-19/26)=
y_(K)=-t-2=(19/26)-2
z_(K)=4*(-19/26)=-76/26
8)
[m]\frac{x+4}{2}=\frac{y-5}{(-3)}=\frac{z}{7}[/m]- уравнение прямой L_(2),
перпендикулярной плоскости P_(1) и проходящей через точку М
Находим точку пересечения прямой L_(2) и плоскости P_(1)
Решаем систему уравнений:
{[m]\frac{x+4}{2}=\frac{y-5}{(-3)}=\frac{z}{7}[/m]
{2x – 3y + 7z = 0
Запишем уравнение прямой L_(2) параметрически:
вводим параметр t
[m]\frac{x+4}{2}=\frac{y-5}{(-3)}=\frac{z}{7}=t[/m] ⇒
x=2t-4
y=-3t+5
z=7t
2*(2t-4) – 3*(-3t+5) + 7*7t = 0
62t=23
t=23/62
x_(M_(o))=2*(23/62)-4=-202/62
y_(M_(o))=-3*(23/62)+5=241/62
z_(M_(o))=7*(23/62)=161/62
M_(o) (-202/62;241/62;161/62) - проекция точки М на плоскость Р_(1)
9)
Все решения
