Задача 75286 Написать уравнение параболы и ее...

659c45109ae5ec093245469e

1/10/2024 6:13:00 PM

Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой х+у=0 и окружности х^(2)+у^(2)+4у=0 и симметрична относительно оси Оу. Прошу решить с рисунком и объяснением :)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

1/10/2024 8:26:49 PM

★

Уравнение
x^2+y^2+4y=0 - уравнение окружности c центром (0;-2) радиусом R=2

Выделим полный квадрат

x^2+(y^2+4y)=0

x^2+(y^2+4y+4)=4

x^2+(y+2)^2=2^2

Решаем систему уравнений

{x+y=0
{x^2+y^2+4y=0

Получаем две точки пересечения
(0;0) и (2;-2)

По условию парабола симметрична относительно оси Оу, значит каноническое уравнение параболы имеет вид( см. скрин 2)

x^2=-2py

Подставляем координаты точки (2;-2)

2^2=-2p*(-2)

[b]p=1[/b]

[b]x^2=-2y[/b] - уравнение параболы

Фокус параболы

F(0;-p/2)

т.е

F(0; -1/2)

Уравнение директрисы

y=p/2

[b]y=(1/2)[/b]