Задача 75211 Как найти предел? Благодарю за помощь!...
Условие
Решение
Нужно преобразовать разность дробей в одну дробь.
Я напишу отдельно, без пределов, чтобы было проще:
[m]\frac{1}{1-\sqrt{x}} - \frac{1}{1-\sqrt[3]{x}} = \frac{(1-\sqrt[3]{x}) - (1-\sqrt{x})}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})}[/m]
Домножим числитель и знаменатель так, чтобы в числителе получилась разность кубов:
[m]\frac{(\sqrt{x} - \sqrt[3]{x})((\sqrt{x})^2+\sqrt{x}\sqrt[3]{x}+(\sqrt[3]{x})^2)}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})((\sqrt{x})^2+\sqrt{x}\sqrt[3]{x}+(\sqrt[3]{x})^2)} = [/m]
[m]\frac{x\sqrt{x} - x}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})(x+\sqrt{x}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2})}=[/m]
[m]=\frac{x(\sqrt{x} - 1)}{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})(x+\sqrt{x}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2})} = -\frac{x}{(1-\sqrt[3]{x})(x+\sqrt{x}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2})}[/m]
Теперь подставляем всё это в предел:
[m]-3\lim \limits_{x \to 1} \frac{x}{(1-\sqrt[3]{x})(x+\sqrt{x}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2})} = -3 \cdot \frac{1}{(1-\sqrt[3]{1})(1+\sqrt{1}\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1^2})} = -\frac{3}{0 \cdot 3} = +- \infty[/m]
Причем при [m]x \to 1-0[/m] будет [m]-\infty[/m],
а при [m]x \to 1+0[/m] будет [m]+\infty[/m]