Задача 75205 Найти проекцию P(x0, y0, z0) точки...
Условие
Решение
перпендикулярной плоскости
4x – 7y + 5z + 9 = 0.
и найдем точку пересечения прямой и плоскости
Плоскость задана общим уравнением
[b] 4[/b]x – 7y + 5z + 9 = 0.
Значит, нормальный вектор плоскости имеет координаты
([b]4[/b];-7;5)
Прямая перпендикулярна плоскости, значит нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой коллинеарны
т.е, направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости это один и тот же вектор
Составляем уравнение прямой, проходящей через точку M (−1; 2; − 3) с заданным направляющим вектором.
( см. рис.)
[m]\frac{x-(-1)}{4}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z-(-3)}{5}[/m]
[m]\frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z+3}{5}[/m]
Решаем систему:
{[m]\frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z+3}{5}[/m]
{4x – 7y + 5z + 9 = 0.
Запишем параметрическое уравнение прямой:
[m]\frac{x+1}{4}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z+3}{5}=t[/m]
⇒
x-1=4t ⇒ x=4t+1
y-2=-7t ⇒ y=-7t+2
z+3=5t ⇒ z=5t-3
И подставляем в уравнение плоскости:
4(4t+1) – 7(-7t+2) + 5(5t-3)+ 9 = 0.
45t=8
t=8/45
x=4*(8/45)+1
y=-7*(8/45)+2
z=5*(8/45)-3
x=77/45
y=11/45
z=95/45
Ответ (77/45; 11/45;95/45) - координаты проекции точки М на плоскость