Задача 75188 ...

658fd1a046594a1126052d35

12/30/2023 11:09:29 AM

Найти по определению y'(0) y={(ln(1+2x^2+x^3))/x x ≠ 0
{0, x=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12/30/2023 2:58:39 PM

★

x_(o) =0
x_(o)+ Δx =0+ Δx

f(x_(o))=f(0)=0


f(x_(o)+ Δx)=f(0+ Δx)=[m]\frac{ln(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}{Δx}[/m]

Δf= f(0+ Δx)-f(0)=[m]\frac{ln(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}{0+Δx}-0=\frac{ln(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}{Δx}[/m]


[m]f`(0)=lim_{ Δx → 0}\frac{Δf}{ Δx}=lim_{ Δx → 0}\frac{\frac{ln(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}{Δx}}{ Δx}=lim_{ Δx → 0}\frac{ln(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}{(Δx)^2}=lim_{ Δx → 0}\frac{ln(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}{(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}\cdot \frac{(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}{(Δx)^2}=[/m]

[m]=lim_{ Δx → 0}\frac{ln(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}{(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}\cdot lim_{ Δx → 0}\frac{(1+2( Δx)^2+( Δx)^3)}{(Δx)^2}=1\cdot lim_{ t → 0}\frac{(1+2t^2+t^3)}{t^2}=1\cdot 2=2[/m]

применяем правило Лопиталя:

[m]lim_{ t → 0}\frac{(1+2t^2+t^3)}{t^2}=lim_{ t → 0}\frac{(4t+3t^2)}{2t}=lim_{ t → 0}\frac{4+6t}{2}=2[/m]