Задача 75185 Составить уравнение линии, расстояние...

658f134346594a1126052cb9

12/29/2023 7:11:45 PM

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 5х + 8 = 0 относится, как 5:4.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12/30/2023 9:51:12 AM

★

Пусть M(x;y) - произвольная точка искомой прямой.

Находим расстояние от точки М до точки А

[m]AM=\sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}[/m]

Расстояние от точки M до прямой [m]5x+8=0[/m]

[m]d=|x-(-\frac{8}{5})|[/m]


По условию расстояние АМ :d= 5:4.

[m]4\cdot \sqrt{(x-2)^2+(y-0)^2}=5|x+\frac{8}{5}|[/m]

Возводим в квадрат

[m]16((x-2)^2+(y-0)^2)=25(x^2+2\cdot \frac{8}{5}x+\frac{64}{25})[/m]


[m]16x^2-64x+64+y^2-25x^2-80x-64=0[/m]

[m]y^2-9x^2-144x=0[/m]

Выделяем полный квадрат:

[m]y^2-9(x^2-16x)=0[/m]

[m]y^2-9(x^2-2x\cdot 8 + 64-64)=0[/m]

[m]y^2-9(x-8)^2+9\cdot 64=0[/m]


[m]9(x-8)^2-y^2=9\cdot 64[/m] - уравнение гиперболы. Приводим к каноническому виду, делим на [m]9\cdot 64[/m]:

[m]\frac{(x-8)^2}{64}-\frac{y^2}{596}=1[/m]