Задача 75183 Задача 11 вариант 11.5 Теория...
Условие
Теория вероятности, математика.
Решение
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} p(x)dx=1[/m]
Функция задана на трех промежутках, поэтому
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} з(x)dx=∫ ^{5}_{- ∞} 0dx+∫ ^{6}_{5}( γx-10) dx+∫ ^{+ ∞ }_{6}0dx=0+ γ \cdot (\frac{x^{2}}{2}-10x)| ^{6 }_{5}+0= γ \cdot (\frac{6^{2}}{2}-10\cdot 6-\frac{5^{2}}{2}+10\cdot 5 )= γ \cdot \frac{11}{2}-10[/m]
[m] γ \cdot \frac{11}{2}-10=1[/m]
[m] γ =2[/m]
По определению функция распределения :
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }p(x)dx[/m]
[b]При x < 5[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
[b]При 5≤x ≤6[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }p(x)dx= ∫ ^{5}_{- ∞ } 0dx+∫ ^{x}_{5 }(2x-10)dx=(2\frac{x^2}{2}-10x)|^{x}_{5}=x^2-10x-(5^2-10\cdot 5)=x^2-10x+25=(x-5)^2[/m]
[b]При x >6 [/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{5}_{- ∞ }0dx+∫ ^{6}_{5}(2x-10)dx+∫ ^{x}_{6 }0dx=(2\cdot \frac{x^{2}}{2}-10x)| ^{6}_{5}+0=2\cdot \frac{6^2}{2}-10\cdot 6-2\cdot \frac{5^2}{2}+10\cdot 5=1-1-10=1[/m]
[m]F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,если x < 5\\(x-5)^2, если 5 ≤ x≤6 \\1, если x > 6\end{matrix}\right.[/m]
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot p(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция p(x) равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{6}_{5}x\cdot (2x-10)dx=∫ ^{6}_{5} (2x^2-10x)dx=(2\frac{x^3}{3}-10\frac{x^2}{2})|^{6}_{5}=(2\frac{6^3}{3}-10\frac{6^2}{2})-(2\frac{5^3}{3}-10\frac{5^2}{2})=\frac{2(216-125)}{3}-55=\frac{17}{3}[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2[/red]
Считаем
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot p(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X^2)= ∫ ^{6}_{5}x^2\cdot (2x-10)dx= ∫ ^{6}_{5}(2x^3-10x^2)dx=(2\frac{x^4}{4}-10\frac{x^3}{3})|^{6}_{5}=\frac{6^4-5^4}{2}-10\frac{216-125}{3}=\frac{671}{2}-\frac{910}{3}=\frac{193}{6}[/m]
Тогда
[red][m]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=\frac{193}{6}-(\frac{17}{3})^2=...[/m][/red] считайте
По формуле:
[m]P( α ≤ x ≤ β )=F( β )-F( α )[/m]
получаем:
[m]P(5,3 ≤ x ≤5,9 )=F(5,9 )-F(5,3)=(5,9-5)^2-(5,3-5)^2=0,81-0,09=0,72[/m]