Задача 75180 ...
Условие
смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль
векторного произведения; в) вычислить скалярное произведение
двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеарны или
ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли компланарны
три вектора.
Решение
[m](7\vec{a},-4\vec{b},2\vec{c})=7\cdot(-4)\cdot 2\begin {vmatrix}4 &-1&3\\2&3&-5\\7&2&4\end {vmatrix}=-56\cdot (4\cdot 3\cdot 4+2\cdot2\cdot 3+7\cdot (-1)\cdot (-5)-7\cdot 3\cdot 3-4\cdot 2\cdot (-5)+4\cdot 2\cdot (-1))=[/m]
[m]=-56\cdot (48+12+35-63+40-8)=-56\cdot 64=[/m]
б)
[m][7\vec{a} × 5\vec{c}]=7\cdot 5[\vec{a} × \vec{b}]=35\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\4 &-1&3\\7&2&4\end {vmatrix}=35\cdot (-4\vec{i}+21\vec{j}+8\vec{k}+7\vec{k}-16\vec{j}-6\vec{i})=35\cdot(-10\vec{i}+5\vec{j}+15\vec{k}) [/m]
в)
[m](2\vec{b}\cdot 4\vec{c})=2\cdot 4\cdot (4\cdot 2+(-1)\cdot 3+3\cdot 5)=160[/m]
г)
[m](\vec{b}\cdot \vec{c})=4\cdot 2+(-1)\cdot 3+3\cdot 5=20 ≠ 0[/m] ⇒ векторы [m]\vec{b}[/m] и [m] \vec{c}[/m] [b] не ортогональны[/b]
[m]4:2 ≠ (-1):3 ≠ 3:5[/m] ⇒ векторы [m]\vec{b}[/m] и [m] \vec{c}[/m] [b]не коллинеарны[/b]
д)
[m](7\vec{a},7\vec{b},5\vec{c})=7\cdot 2\cdot 5\begin {vmatrix}4 &-1&3\\2&3&-5\\7&2&4\end {vmatrix}=70\cdot (4\cdot 3\cdot 4+2\cdot2\cdot 3+7\cdot (-1)\cdot (-5)-7\cdot 3\cdot 3-4\cdot 2\cdot (-5)+4\cdot 2\cdot (-1))=70\cdot 64 ≠0 [/m]
[b]не компланарны[/b]