Задача 75168 Члены Клуба киссеров при встрече...

658d3dc046594a1126052a31

12/28/2023 9:21:11 AM

Члены Клуба киссеров при встрече целуются одним поцелуем (в губки) или двумя (в щечку или в носик). Однажды встретились 10 киссеров. Мальчики поцеловались друг с другом в носик, девочки — в губки. А мальчики с девочками поцеловались в щечку. Сколько было девочек, если всего поцелуев было 84?


Прошу, решите уравнением

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/28/2023 11:47:45 AM

★

Пусть мальчиков было x, а девочек y.
Поцелуев в губки было по 1 на каждую пару участников.
Поцелуев в носик и в щечку было по 2 на каждую пару участников.

Каждая девочка целует всех остальных девочек по 1 разу.
Всего y(y - 1) поцелуев.
Но, когда, например, Маша целует Таню, то одновременно и Таня целует Машу. Поэтому в итоге получится [b]y(y - 1)/2[/b] поцелуев.
Каждый мальчик целует всех остальных мальчиков по 2 раза.
Тут ситуация такая же, но поцелуев в 2 раза больше. Всего [b]x(x - 1)[/b].
Каждый мальчик целует каждую девочку по 2 раза.
То, что при этом и девочка целует мальчика, можно не считать.
Всего получается [b]2x*y[/b] поцелуев.
И всего у нас получилось 84 поцелуя. Составляем уравнение:
y(y - 1)/2 + x(x - 1) + 2xy = 84
Умножим всё уравнение на 2 и перейдём к целым числам.
y(y - 1) + 2x(x - 1) + 4xy = 168
y^2 - y + 2x^2 - 2x + 4xy = 168
Нам нужно узнать количество девочек y, поэтому напишем так:
y^2 + y(4x - 1) + (2x^2 - 2x - 168) = 0
Получили квадратное уравнение относительно y.
Нам его надо решить в натуральных числах.
D = (4x - 1)^2 - 4(2x^2 - 2x - 168)
D = 16x^2 - 8x + 1 - 8x^2 + 8x + 672
D = 8x^2 + 673 > 0 при любом x,
поэтому уравнение всегда имеет два решения.
Будем перебирать натуральные x, пока не получим натуральный y.
Подставлять будем в уравнение:
y^2 + y(4x - 1) + (2x^2 - 2x - 168) = 0
x = 0; y^2 - y - 168 = 0; y1, y2 - нецелые.
x = 1; y^2 + 3y - 168 = 0; y1, y2 - нецелые.
x = 2; y^2 + 7y - 164 = 0; y1, y2 - нецелые.
x = 3; y^2 + 11y - 156 = 0; y1, y2 - нецелые.
x = 4; y^2 + 15y - 144 = 0; y1, y2 - нецелые.
x = 5; y^2 + 19y - 128 = 0; y1, y2 - нецелые.
x = 6; y^2 + 23y - 108 = 0; y1 = -27 < 0, y2 = 4 - подходит.
Но на всякий случай проверим остальные варианты.
x = 7; y^2 + 27y - 84 = 0; y1, y2 - нецелые.
x = 8; y^2 + 31y - 56 = 0; y1, y2 - нецелые.
x = 9; y^2 + 35y - 24 = 0; y1, y2 - нецелые.
x = 10; y^2 + 39y + 12 = 0; y1, y2 < 0
Проверять дальше смысла нет.
При любых x > 10 оба корня y1, y2 тоже будут меньше 0.

Ответ: 4 девочки и 6 мальчиков.