Задача 75152 Вычислить предел...
Условие
Решение
чтобы в знаменателе получилось выражение без корней.
А в числителе вынесем 4 за скобки.
[m]\lim \limits_{x \to 4} \frac{16x^2 - 68x + 16}{\sqrt{4x} - \sqrt{2x+8}} = \lim \limits_{x \to 4} \frac{4(4x^2 - 17x + 4)(\sqrt{4x} + \sqrt{2x+8})}{(\sqrt{4x} - \sqrt{2x+8})(\sqrt{4x} + \sqrt{2x+8})} =[/m]
[m]=\lim \limits_{x \to 4} \frac{4(x - 4)(4x - 1)(\sqrt{4x} + \sqrt{2x+8})}{4x - (2x+8)} = \lim \limits_{x \to 4} \frac{4(x - 4)(4x - 1)(\sqrt{4x} + \sqrt{2x+8})}{2(x-4)}[/m]
Сокращаем 2(x - 4):
[m]\lim \limits_{x \to 4} \frac{4(x - 4)(4x - 1)(\sqrt{4x} + \sqrt{2x+8})}{2(x-4)} = \lim \limits_{x \to 4} 2(4x - 1)(\sqrt{4x} + \sqrt{2x+8}) =[/m]
[m]= 2(4 \cdot 4 - 1)(\sqrt{4 \cdot 4} + \sqrt{2 \cdot 4+8}) = 2 \cdot 15(\sqrt{16} + \sqrt{16}) = 30 \cdot 8 = 240[/m]
2) [m]\lim \limits_{x \to \infty} (\frac{8x+1}{8x-1})^{7x} = \lim \limits_{x \to \infty} (\frac{8x-1+2}{8x-1})^{7x} =\lim \limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{8x-1})^{7x}[/m]
Теперь нам надо получить в показателе степени дробь [m]\frac{8x-1}{2}[/m]
[m]\lim \limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{8x-1})^{7x} = \lim \limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{8x-1})^{\frac{8x-1}{2} \cdot 7x \cdot \frac{2}{8x-1}} = \lim \limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{8x-1})^{\frac{8x-1}{2} \cdot \frac{14x}{8x-1}}[/m]
По 2 Замечательному пределу:
[m]\lim \limits_{z \to \infty} (1 + \frac{1}{z})^{z} = e[/m]
В нашем случае [m]z = \frac{8x-1}{2}[/m]. Получаем:
[m]\lim \limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{8x-1})^{\frac{8x-1}{2} \cdot \frac{14x}{8x-1}} = \lim \limits_{x \to \infty} e^\frac{14x}{8x-1} = e^{14/8} = e^{7/4}[/m]