Задача 75145 Исследовать методами дифференциального...

65856765f927987e77b37871

12/26/2023 8:25:49 PM

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и, используя результаты исследования, построить её график

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12/27/2023 3:06:07 PM

★

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

2.Точки пересечения с осями.

y=0

x^3=0

x=0

(0;0)

3. Исследовать функцию на четность/нечетность.



4. Найти асимптоты.



5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

Находим производную

Применяем правило дифференцирования частного ( дроби):

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y`= ((x^3)`*(x^2+1)-x^3*(x^2+1)`)/(x^2+1)^2

y`=((3x^2*(x^2+1)-x^3*(2x))/(x^2+1)^2

y`=(3x^4 +x^2)/(x^2+1)^2



y` ≥ 0 на (- ∞ ;+ ∞ ) , значит функция монотонно возрастает на (- ∞ ;+ ∞ )


6. Точки перегиба.

Выпуклость...

Находим вторую производную

y``=((3x^4 +x^2)/(x^2+1)^2)`

Применяем правило дифференцирования частного ( дроби):

(u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2

y``=((12x^3 +2x)*(x^2+1)^2-(3x^4+x^2)*2(x^2+1)*2x)/(x^2+1)^4

y``=2x(5x^2+1)/(x^2+1)^3

x=0 - точка перегиба

y``<0 при х ∈ (- ∞ ;0) кривая выпукла вверх ( ∩ )

y``> 0 при х ∈ (0; ∞ ) кривая выпукла вниз ( ∪ )


7. Дополнительные точки:

y(1)=

y(-1)=

8. Построить график.