Задача 75114 Даны общее уравнение прямой L и...
Условие
1) составить каноническое уравнение прямой L ;
2) найти точку пересечения прямой L с плоскостью a.
Решение
{ 3x - 2y + z + 4 = 0
{ 5x + 3y - z + 2 = 0
Плоскость a:
-x + 7y - 2z - 9 = 0
Чтобы найти канонические уравнения прямой, нужно найти на ней две точки.
1) z = 3
{ 3x - 2y + 3 + 4 = 0
{ 5x + 3y - 3 + 2 = 0
Умножаем 1 уравнение на 3, а 2 уравнение на 2:
{ 9x - 6y + 21 = 0
{ 10x + 6y - 2 = 0
Складываем уравнения:
19x + 19 = 0
x = -1
6y = 9x + 21 = -9 + 21 = 12
y = 2
[b]A(-1; 2; 3)[/b]
2) z = 22
{ 3x - 2y + 22 + 4 = 0
{ 5x + 3y - 22 + 2 = 0
Умножаем 1 уравнение на 3, а 2 уравнение на 2:
{ 9x - 6y + 78 = 0
{ 10x + 6y - 40 = 0
Складываем уравнения:
19x + 38 = 0
x = -2
6y = 9x + 78 = -18 + 78 = 60
y = 10
[b]B(-2; 10; 22)[/b]
Теперь строим уравнения прямой по двум точкам:
(x + 1)/(-2 + 1) = (y - 2)/(10 - 2) = (z - 3)/(22 - 3)
И получаем канонические уравнения:
(x + 1)/(-1) = (y - 2)/8 = (z - 3)/19
3) Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, нужно вернуться к общим уравнениям прямой и решить систему:
{ 3x - 2y + z + 4 = 0
{ 5x + 3y - z + 2 = 0
{ -x + 7y - 2z - 9 = 0
Переставим уравнения и поменяем знаки в уравнении плоскости:
{ x - 7y + 2z + 9 = 0
{ 3x - 2y + z + 4 = 0
{ 5x + 3y - z + 2 = 0
Умножаем 1 уравнение на -3 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -5 и складываем с 3 уравнением.
{ x - 7y + 2z + 9 = 0
{ 0x + 19y - 5z - 23 = 0
{ 0x + 38y - 11z - 43 = 0
Умножаем 2 уравнение на -2 и складываем с 3 уравнением.
{ x - 7y + 2z + 9 = 0
{ 0x + 19y - 5z - 23 = 0
{ 0x + 0y - z + 3 = 0
Из 3 уравнения:
[b]z = 3[/b]
Подставляем z во 2 уравнение:
19y - 5*3 - 23 = 0
19y = 15 + 23 = 38
[b]y = 2[/b]
Подставляем y и z в 1 уравнение:
x - 7*2 + 2*3 + 9 = 0
x = 14 - 6 - 9 = -1
[b]x = -1[/b]
Оказывается, найденная нами точка [b]А(-1; 2; 3)[/b] - это и есть точка пересечения прямой L и плоскости a.