Задача 75108 Очень нужна помощь с 10 заданием из...

657ca8df42718a6f375fdfd9

12/25/2023 2:20:24 PM

Очень нужна помощь с 10 заданием из приложенного файла

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/25/2023 5:19:08 PM

★

10) Теоре́ма Ро́лля, классическая теорема математического анализа: если действительная функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b], имеет в каждой его внутренней точке конечную или определённого знака бесконечную производную, а на его концах принимает равные значения, то на интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка, в которой производная функции f(x) равна нулю.
Чтобы проверить, выполнима ли эта теорема на данной функции, нам надо проверить два пункта:
1) Функция непрерывна на отрезке.
2) Значения функции на концах отрезка равны друг другу.
Проверяем.
1) f(x) = x*sin(π/x) при x ≠ 0
f(x) = 0 при x = 0
Проверяем точку x = 0
[m]\lim \limits_{x \to 0-0} x \sin(\frac{π}{x})[/m]
Функция [m]\sin(\frac{π}{x})[/m] - ограничена, поэтому
[m]\lim \limits_{x \to 0-0} x \sin(\frac{π}{x}) = 0[/m]
f(0) = 0
[m]\lim \limits_{x \to 0+0} x \sin(\frac{π}{x}) = 0[/m]
Значения совпадают, значит, функция непрерывна.

2) Проверяем, что пределы на -oo и +oo - одинаковые.
[m]\lim \limits_{x \to -\infty} x \sin(\frac{π}{x}) = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{\sin(\frac{π}{x})}{\frac{1}{x}} = \lim \limits_{x \to -\infty} π \cdot \frac{\sin(\frac{π}{x})}{\frac{π}{x}} = π[/m]
[m]\lim \limits_{x \to +\infty} x \sin(\frac{π}{x}) = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{\sin(\frac{π}{x})}{\frac{1}{x}} = \lim \limits_{x \to -\infty} π \cdot \frac{\sin(\frac{π}{x})}{\frac{π}{x}} = π[/m]
Значения одинаковые, значит, теорема применима.