Задача 75103 Исследовать систему линейных...
Условие
четвертого порядка на совместность. Если система совместна, то найти ее
общее решение и представить его в виде суммы общего решения
соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной
системы. Общее решение однородной системы представить в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений.
Решение
{ x + 2y -6z + 0t = 4
{ 3x + 4y - 14z - 2t = 10
{ -2x - 3y + 10z + t = -7
Нужно найти определитель системы Δ.
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -4 & -1 \\
1 & 2 & -6 & 0 \\
3 & 4 & -14 & -2 \\
-2 & -3 & 10 & 1 \\
\end{vmatrix} [/m]
Раскладываем матрицу по 1 строке:
[m]\Delta = 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -6 & 0 \\
4 & -14 & -2 \\
-3 & 10 & 1 \\
\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & -6 & 0 \\
3 & -14 & -2 \\
-2 & 10 & 1 \\
\end{vmatrix} - [/m]
[m] - 4 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & -2 \\
-2 & -3 & 1 \\
\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 & -6 \\
3 & 4 & -14 \\
-2 & -3 & 10 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= [2(-14)*1 + 0*4*10 + (-6)(-2)(-3) - 0(-14)(-3) - 2*10(-2) - 1*4(-6)] -
- [1(-14)*1 + 0*3*10 + (-6)(-2)(-2) - 0(-14)(-2) - 1*10(-2) - 1*3(-6)] -
- 4*[1*4*1 + 0*3(-3) + 2(-2)(-2) - 0*4(-2) - 1*2*3 - 1(-2)(-3)] +
+ [1*4*10 + 2(-2)(-14) + 3(-3)(-6) - (-2)*4(-6) - 2*3*10 - 1(-3)(-14)] =
= (-28 + 0 - 36 - 0 + 40 + 24) - (-14 + 0 - 24 - 0 + 20 + 18) -
- 4(4 + 0 + 8 - 0 - 6 - 6) + (40 + 56 + 54 - 48 - 60 - 42) =
= 0 - 0 - 4*0 + 0 = 0
Итак, мы получили, что главный определитель Δ = 0.
Теперь проверим любой определитель переменной. Например, Δx
[m]\Delta(x) = \begin{vmatrix}
3 & 1 & -4 & -1 \\
4 & 2 & -6 & 0 \\
10 & 4 & -14 & -2 \\
-7 & -3 & 10 & 1 \\
\end{vmatrix} [/m]
Если он не равен 0, то система несовместна и решений не имеет.
Если же он равен 0, то система имеет бесконечное множество решений.
Вычислить этот определитель я предлагаю вам самому.
Результат: Δx = 0, система имеет бесконечное множество решений.
z и t - свободные переменные. x и y - базовые переменные.
z ∈ R; t ∈ R
y = 2z - t + 1
x = -y + 4z + t + 3
Подставляем y в x и получаем:
x = -2z + t - 1 + 4z + t + 3 = 2z + 2t + 2
Общее решение:
z ∈ R; t ∈ R
y = 2z - t + 1
x = 2z + 2t + 2
Частное решение, например:
z = 1; t = -1; y = 2 - (-1) + 1 = 4; x = 2 - 2 + 2 = 2