Задача 75054 Вариант 26 1. Провести полное...
Условие
1. Провести полное исследование функций методами дифференциального исчисления и построить графики: в
Решение
[m]lim_{x→ – ∞} (x-arctg2x)=- ∞-(-\frac{π}{2}) =- ∞[/m]
Аналогично
[m]lim_{x→ + ∞} (x-arctg2x)=+∞-(\frac{π}{2}) =+ ∞[/m]
Исследование функции с помощью первой производной
[m]y`=(x-arctg2x)`[/m]
[m]y`=1-\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot (2x)`[/m]
[m]y`=1-\frac{2}{1+4x^2}[/m]
[m]y`=\frac{1+4x^2-2}{1+4x^2}[/m]
[m]y`=\frac{4x^2-1}{1+4x^2}[/m]
[m]y`=0[/m]
[m]4x^2-1=0[/m]
[m]x^2=\frac{1}{4}[/m]
[m]x= ± \frac{1}{2}[/m]
Знак производной
__+__ (-1/2) __ -__ (1/2) __+__
y` >0 на (– ∞ ; -1/2) и на (1/2; + ∞),
функция возрастает на (– ∞ ; -1) и на (0;1)
y`< 0 на (-1/2; 1/2 )
функция убывает на (-1/2; 1/2 )
х= -1/2– точка минимума, производная меняет знак с – на +
х= 1/2 – точки максимума, производная меняет знак с + на -
Исследование функции с помощью второй производной:
[m]y``=(\frac{4x^2-1}{1+4x^2})`[/m]
[m]y``=-\frac{64x^3}{(1+4x^2)^2}[/m]
[b]x=0 - точка перегиба[/b]
