Задача 75053 на фото вариант 26. №1(б). Распишите...
Условие
Решение
[i]Вертикальных[/i] асимптот нет
[m]lim_{x→ – ∞} 8x^2\cdot e^{-x^2}=(+ ∞)\cdot 0 [/m] [i] неопределенность [/i]
применяем правило Лопиталя
[m]=lim_{x→ – ∞}\frac{8x^2}{e^{x^2}} =lim_{x→ – ∞}\frac{(8x^2)`}{(e^{x^2})`}=... 0[/m]
Аналогично
[m]lim_{x→ + ∞} 8x^2\cdot e^{-x^2}= 0 [/m]
Прямая y=0 -[i] горизонтальная[/i] асимптота
Исследование функции с помощью первой производной
[m]y`=(8x^2)`·e^{-x^2}+(8x^2)·(e^{-x^2})`[/m]
[m]=16x·e^{-x^2}+(8x^2)·e^{-x^2}\cdot (-x^2)`[/m]
[m]=16x·e^{-x^2}+(8x^2)·e^{-x^2}\cdot (-2x)=[/m]
[m]=16x·e^{-x^2}-16x^3·e^{-x^2}[/m]
[m]y``=16(x-x^3)·e^{-x^2}[/m]
[m]y`=0[/m]
[m]16(x-x^3)·e^{-x^2}=0[/m]
[m]x-x^3=0[/m]
Знак производной
__+__ (-1)__–__ (0) __ +__ (1) __-__
y` >0 на (– ∞ ; -1) и на (0;1)
функция возрастает на (– ∞ ; -1) и на (0;1)
y`< 0 на (-1; 0), ) и на (1; + ∞),
функция убывает на (-1; 0), ) и на (1; + ∞)
х= 0– точка минимума, производная меняет знак с – на +
х= ±1 – точки максимума, производная меняет знак с + на -
Исследование функции с помощью второй производной:
[m]y``=16((x-x^3)·e^{-x^2})`[/m]
[m]y``=16((x-x^3)`·e^{-x^2}+(x-x^3)\cdot (e^{-x^2} )`)=16e^{-x^2}\cdot (1-3x^2+(x-x^3)\cdot (-2x))=16e^{-x^2}\cdot (1-5x^2+2x^4)[/m]
[m]y``=0[/m]
[m]2x^4-5x^1+1=0[/m]
D=(25-8)=17
x^2=(5-sqrt(17))/4 или x^2=(5+sqrt(17))/4
Четыре точки перегиба
