Задача 75035 Продифференцировать данную функцию....
Условие
Продифференцировать данную функцию. Найти
производную сначала y'=dy/dx а потом y''=d^2y/dx^2
Решение
Исключаем параметр t:
[m]x=3cost[/m] ⇒ [m]cost=\frac{x}{3}[/m] ⇒[m]t=arccos\frac{x}{3}[/m]
Тогда
[m]y=3sint=3sin(arccos\frac{x}{3})[/m]
[m]y`=(3sin(arccos\frac{x}{3}))`_{x}[/m]
[m]y`=3(cos(arccos\frac{x}{3}))\cdot (arccos\frac{x}{3})`_{x}=[/m]
[m]3(\frac{x}{3})\cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}})\cdot (\frac{x}{3})`[/m]
[m]y`_{x}=-\frac{x}{\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}}\cdot \frac{1}{3}[/m]
[m]y`_{x}=-\frac{x}{\sqrt{\frac{9-x^2}{9}}}\cdot \frac{1}{3}[/m]
[m]y`_{x}=-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}[/m]- о т в е т
[m]y``_{xx}=-\frac{(x)`\cdot \sqrt{9-x^2}-x\cdot (\sqrt{9-x^2})`}{(\sqrt{9-x^2})^2}[/m]
[m]y``_{xx}=-\frac{\sqrt{9-x^2}-x\cdot (\frac{1}{2\sqrt{9-x^2}})\cdot (9-x^2)`}{(9-x^2)}[/m]
[m]y``_{xx}=-\frac{9-x^2+x^2}{(9-x^2)\sqrt{9-x^2}}[/m]
[m]y``_{xx}=-\frac{9}{(9-x^2)\sqrt{9-x^2}}[/m]- [blue]о т в е т.[/blue]
Можно исключить параметр и так:
[m]cost=\frac{x}{3}[/m]
[m]sint=\frac{y}{3}[/m]
Возводим каждое равенство в квадрат
[m]cos^2t=(\frac{x}{3})^2[/m]
[m]sin^2t=(\frac{y}{3})^2[/m]
и складываем
[m]cos^2t+sin^2t=(\frac{x}{3})^2+(\frac{y}{3})^2[/m]
[m]1=(\frac{x}{3})^2+(\frac{y}{3})^2[/m] ⇒ [m]x^2+y^2=9[/m] получили [i]функцию,заданную неявно[/i]
Дифференцируем обе части
[m](x^2+y^2)`=(9)`[/m]
[m]2x+2y\cdot y`=0[/m]
[m]y`=-\frac{x}{y}[/m]
так как[m] y=\sqrt{9-x^2}[/m]
[m]y`=-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}[/m]такой же [blue]о т в е т.[/blue]
2 способ - дифференцирование [i]функции, заданной параметрически[i] по формулам ( см. скрин)
[m]y`_{x}=\frac{y`_{t}}{x`_{t}}[/m]
[m]x`_{t}=(3cost)`_{t}=-3sint[/m]
[m]y`_{t}=(3sint)`_{t}=3cost[/m]
[m]y`_{x}=\frac{3cost}{(-3sint)}[/m]
[m]y`_{x}=-ctgt[/m]- это о т в е т
[m]y``_{x}=\frac{(y`_{x})`_{t}}{x`_{t}}[/m]
[m]y``_{xx}=\frac{(-ctgt)`_{t}}{(-3sint)}[/m]
[m]y``_{xx}=\frac{\frac{1}{sin^2t}}{(-3sint)}[/m]
[m]y``_{xx}=\frac{1}{(-3sin^3t)}[/m]- это [red]о т в е т[/red]
Можно показать, что ответы совпадают.
Исключаем переменную t
[m]x=3cost[/m] ⇒ [m]cost=\frac{x}{3}[/m] ⇒ так как в ответе только sint,
то находим
[m]sint=\sqrt{1-cos^2t}=\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}=\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}[/m]
[m]y``_{xx}=\frac{1}{(-3(\frac{\sqrt{9-x^2}}{3})^3)}[/m]
[m]y``_{xx}=-\frac{9}{(9-x^2)\sqrt{9-x^2}}[/m]- получен такой же [blue]о т в е т.[/blue]
Можно получить еще одну формулу для нахождения второй производной ( см. скрин 2)
Тогда придется найти
[m]y``_{tt}=( 3cost)`_{t}=-3sint [/m]
[m]x``_{tt}=(-3sint)`_{t}=-3cost[/m]
И подставить в формулу:
[m]y``_{xx}=\frac{y``_{tt}\cdot x`_{t}-y`_{t}\cdot x``_{tt}}{(x`_{t})^3}=\frac{(-3sint)\cdot (-3sint)-3cost\cdot (-3cost)}{(-3sint)^3}=[/m]
[m]=\frac{9sin^2t+9cos^2t}{-27sin^3t}=-\frac{1}{3sin^3t}[/m] такой же [red]о т в е т[/red]
