Задача 75002 Решение дифференциальных уравнений с...
Условие
уравнений с разделяющимися
переменными»
Решение
[m]y`=\frac{dy}{dx}[/m]
[m]y\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{1+x^2}[/m]
[m]y\cdot\frac{dy}{1+y^2}=\frac{1}{1+x^2}dx[/m] - уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем:
[m] ∫ y\cdot\frac{dy}{1+y^2}= ∫ \frac{1}{1+x^2}dx[/m]
[m]\frac{1}{2} ∫\frac{2 ydy}{1+y^2}= ∫ \frac{1}{1+x^2}dx[/m]
[m]\frac{1}{2} ∫\frac{d(1+y^2)}{1+y^2}= ∫ \frac{1}{1+x^2}dx[/m]
[m]\frac{1}{2} ln(1+y^2)= arctg x+C[/m]
4)
[m](1+x^2)dy=2xydx[/m]
[m]\frac{dy}{y}=\frac{2xdx}{1+x^2}dx[/m] - уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем:
[m] ∫ \frac{dy}{y}= ∫ \frac{2xdx}{1+x^2}dx[/m]
[m] ∫ \frac{dy}{y}= ∫ \frac{d(1+x^2)}{1+x^2}dx[/m]
[m]ln|y|=ln(1+x^2)+lnC[/m]
[m]ln|y|=lnC\cdot (1+x^2)[/m]
[m]y=C\cdot (1+x^2)[/m]- общее решение
при x=-1; y=4
[m]4=C\cdot (1+(-1)^2)[/m]
[m]C=2[/m]
[m]y=2\cdot (1+x^2)[/m]- решение , соответствующее начальным условиям