Задача 74998 ...
Условие
Решение
y`=z
y``=z`
Уравнение принимает вид:
[m]z`-(2\cdot сtgx)\cdot z=sin^3x[/m]
Получили линейное уравнение первого порядка вида
z`+p(x)*z=q(x)
Решаем методом Бернулли
находим решение в виде произведения двух функций
[m]z=u\cdot v[/m]
[m]z`=u`\cdot v+u\cdot v`[/m]
Подставляем в уравнение:
[m]z`-(2\cdot сtg x)\cdot z=sin^3x[/m]
[m]u`\cdot v+u\cdot v`-(2\cdot ctgx )\cdot u\cdot v=sin^3x[/m]
Группируем:
[m]u`\cdot v+u\cdot (v`-2\cdot ctgx \cdot v)=sin^3x[/m]
Полагаем
[m]v`-2\cdot ctgx \cdot v=0[/m] [b](1)
[/b]
Тогда
[m]u`\cdot v=sin^3x[/m] [b](2)[/b]
Решаем [b]два[/b] уравнения с [i]разделяющимися[/i] переменными:
[m]v`-2\cdot ctgx \cdot v=0[/m] ⇒ [m]\frac{dv}{v}=2ctgx dx[/m]
Интегрируем
[m] ∫ \frac{dv}{v}=2 ∫ ctgx dx[/m]
[m]ln|v|=2ln|sinx|[/m] ⇒ [m]ln|v|=ln sin^2x[/m] ⇒ [m]v=sin^2x[/m]
( константу C полагаем равной 0)
и подставляем во второе:
[m]u`\cdot sin^2x=sin^3x[/m] ⇒ [m]u`=sinx[/m]
Интегрируем
[m] ∫ u`dx= ∫ (sinx)dx [/m]
[m]u=-cosx+C_{1}[/m]
Находим
[m]z=u\cdot v[/m]
[m]z=(-cosx+C_{1})\cdot sin^2x[/m]
Обратная замена
[m]y`=(-cosx+C_{1})\cdot sin^2x[/m]
Интегрируем:
[m] ∫ y`dx= ∫ (-cosx+C_{1})\cdot sin^2x dx[/m]
[m]y= -∫ sin^2x d(sinx)+C_{1} ∫ \frac{1-cos2x}{2}dx[/m]
[m]y= -\frac{sin^3x}{3}+C_{1} \cdot \frac{1}{2}x- \frac{C_{1}}{4}sin2x+C_{2}[/m]