Задача 74950 ...

650839b86fd530065da70c09

12/21/2023 3:44:09 AM

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 
48
48 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 
32
32 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/21/2023 11:34:19 AM

★

Обозначим весь путь S км.
1 автомобиль ехал с постоянной скоростью v1 км/ч.
Он проехал весь путь за t1 = S/v1 ч.
2 автомобиль ехал первые S/2 км с v2 = 48 км/ч,
а потом вторые S/2 км с v3 = v1 + 32 км/ч.
Он проехал весь путь за t2 = S/(2*v2) + S/(2*v3) ч.
И они приехали одновременно.
Составляем уравнение:
[m]\frac{S}{v1} = \frac{S}{2 \cdot 48} + \frac{S}{2(v1+32)}[/m]
Сокращаем всё на S:
[m]\frac{1}{v1} = \frac{1}{96} + \frac{1}{2(v1+32)}[/m]
Приводим правые дроби к общему знаменателю:
[m]\frac{1}{v1} = \frac{v1+32}{96(v1+32)} + \frac{48}{96(v1+32)}[/m]
Запишем наоборот и сложим дроби:
[m]\frac{v1+32+48}{96(v1+32)} = \frac{1}{v1}[/m]
По правилу пропорции:
v1(v1 + 80) = 96(v1+32)*1
v1^2 + 80*v1 - 96*v1 - 96*32 = 0
v1^2 - 16*v1 - 3072= 0
D/4 = (-8)^2 - 1(-3072) = 64 + 3072 = 3136 = 56^2
v1 = 8 + 56 = 64 км/ч - скорость 1 автомобиля.
v2 = 48 км/ч - скорость 2 автомобиля в 1 половину пути.
v3 = 64 + 32 = 96 км/ч - скорость 2 автомобиля во 2 половину пути.
Все вычисления сделаны в уме, без калькулятора!

Ответ: 64 км/ч