Задача 74943 решить три показательных уравнений...
Условие
Решение
[m]5^{x} \cdot 8^{1 - \frac{1}{x}} = 500[/m]
[m]5^{x} \cdot 2^{3 - \frac{3}{x}} = 500[/m]
[m]5^{x} \cdot 2^3 : 2^{\frac{3}{x}} = 500[/m]
[m]5^{x} : 2^{\frac{3}{x}} = \frac{500}{8}[/m]
[m]5^{x} : 2^{\frac{3}{x}} = \frac{125}{2}[/m]
По правилу пропорции:
[m]2^{\frac{3}{x}} \cdot 5^3 = 2 \cdot 5^x[/m]
[m]2^{\frac{3}{x} - 1} = 5^{x-3}[/m]
[m]2^{\frac{3-x}{x}} = 5^{x-3}[/m]
Логарифмируем по основанию 5:
[m]\log_{5}(2^{\frac{3-x}{x}}) = x - 3[/m]
[m]\frac{3-x}{x} \cdot \log_{5}(2) = x - 3[/m]
x1 = 3, при этом левая и правая части равны 0.
Проверяем начальное уравнение:
[m]5^{3} \cdot 8^{\frac{3-1}{3}} = 125 \cdot 8^{\frac{2}{3}} = 125 \cdot 4 = 500[/m]
Подходит.
Если x ≠ 3, то сокращаем (3 - x) и (x - 3)
[m]\frac{1}{x} \cdot \log_{5}(2) = -1[/m]
[m]x2 = -\log_{5}(2) = \log_{5}(1/2)[/m]
Проверить это сложно, но решение подходит.
Ответ: x1 = -log_5 (2); x2 = 3
2) 2^(x+2) - 5*2^(x-3) = 27648
2^(x)*2^2 - 5*2^(x) : 2^3 = 2^(10)*3^3
2^2*2^(x) - 5*2^(x) : 2^3 = 2^(10)*3^3
Умножаем всё на 2^3
2^5*2^(x) - 5*2^(x) = 2^(13)*3^3
2^(x)*(32 - 5) = 2^(13)*3^3
2^(x)*27 = 2^(13)*3^3
2^(x)*3^3 = 2^(23)*3^3
Сокращаем на 3^3:
2^(x) = 2^(23)
Ответ: x = 23
3) [m]\frac{10^{x} + 10^{-x}}{10^{x} - 10^{-x}} = 5[/m]
Введем замену: [m]10^{x} = t; 10^{-x} = 1/t[/m]
[m]\frac{t + 1/t}{t - 1/t} = 5[/m]
t + 1/t = 5(t - 1/t)
t + 1/t = 5t - 5/t
1/t + 5/t = 5t - t
6/t = 4t
t^2 = 6/4 = 3/2
t^2 = 10^(2x) = 3/2
2x = lg(3/2)
Ответ6 x = 0,5*lg(3/2) = 0,5*(lg(3) - lg(2))