Задача 74916 Система дифференциальных уравнений нужно...

651b18c7ef5ebe74783e677e

12/20/2023 10:56:17 AM

Система дифференциальных уравнений нужно решить номер 781

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12/20/2023 7:09:20 PM

★

Выразим из первого уравнения z и подставим во второе уравнение:
{z=y`-e^(x)
{z`=e^(-x)-y

{z=y`-e^(x)
{(y`-e^(x))`=e^(-x)-y


y``-e^(x)=-e^(-x)-y


Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y``+y=e^(x)-e^(-x)

Решаем однородное уравнение:
y``+y=0

Составляем характеристическое уравнение:

k^2+1=0

k_(1) = -i; k_(2) =-i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y=C_(1)cosx+C_(2)sinx


Правая часть f(x)=e^(x)-e^(-x)


Находим два частных решения
[b]f_(1)(x)=e^(x)[/b]

y_(1 частное)= Ae^(x)
y`_(1 частное)=Ae^(x)
y``_(1 частное)=Ae^(x)

Подставляем в уравнение:
y``+y=e^(x)

Ae^(x)+Ae^(x)=e^(x)
2А=1
А=1/2

[b]y_(1 частное)= (1/2)e^(x)[/b]


[b]f_(2)(x)=-e^(-x)[/b]


y_(2 частное)=Be^(-x)
y`_(1 частное)=-Be^(-x)
y``_(1 частное)=Be^(-x)


Подставляем в уравнение:
y``+y`=-e^(-x)

Be^(-x)+Be^(-x)=-e^(-x)

2В=-1



B=-1/2

[b]y_(2 частное)= x*e^(-x)[/b]


y(x)=C_(1)cosx +C_(2)sinx+(1/2)e^(x)-(1/2)e^(-x)


(1/2)e^(x)-(1/2)e^(-x) =shx

y(x)=C_(1)cosx +C_(2)sinx+shx

Подставляем в первое уравнение

y`=e^(x)-z

Находим
y`(x)=C_(1)(-sinx) +C_(2)cosx+chx

тогда

z=e^(x)-C_(1)(-sinx) -C_(2)cosx-chx

z(x)=C_(1)sinx-C_(2)cosx+shx

так как

e^(x)-ch(x)=e^(x)-(1/2)*(e^(x)+e^(-x))=(1/2)e^(x)-(1/2)e^(-x)=shx

О т в е т.

y(x)=C_(1)cosx +C_(2)sinx+shx


z(x)=C_(1)sinx-C_(2)cosx+shx