Задача 74914 ...

636760a4ad8c9721f0e63cd8

12/20/2023 8:47:52 AM

1. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые начинаются на 4 или оканчиваются на 4.
2. О разных числах х, у известно, что х²=17х+у и у²=х+17у. Чему равно значение выражения √х²+у²+1?
3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС, угол С=90°, на катете СВ отмечена точка К такая, что СК:КВ=1:2, а на катете СВ отмечена середина М.Сечением отрезков АК и ВМ точка О. Найдите градусную меру угла МОК.
4. Пусть х0=2023, х1=3 и хn+1=2xn-4xn-1+3 Для всех натуральных n. Найти наиболее натуральное k для которого существует простое число р такое, что число х2023 - 1 делится на р^k.

626fab9a354ab65fb2f43abb

12/20/2023 12:58:15 PM

★

1) Трехзначные числа, которые оканчиваются на 4.
Но не те, которые начинаются на 4. Чтобы не путаться.
Заметим, что 0+10+20+30+...+90 = (0+1+2+3+...+9)*10 = 450
Поэтому:
104+114+124+ ... +194 = 10*100 + 450 + 10*4 = 1490
204+214+224+ ... +294 = 10*200 + 450 + 10*4 = 2490
304+314+324+ ... +394 = 10*300 + 450 + 10*4 = 3490
504+514+524+ ... +594 = 10*500 + 450 + 10*4 = 5490
604+614+624+ ... +694 = 10*600 + 450 + 10*4 = 6490
704+714+724+ ... +794 = 10*700 + 450 + 10*4 = 7490
804+814+824+ ... +894 = 10*800 + 450 + 10*4 = 8490
904+914+924+ ... +994 = 10*900 + 450 + 10*4 = 9490
Сумма всех этих чисел:
1490 + 2490 + 3490 + 5490 + 6490 + 7490 + 8490 + 9490 =
= 1000*(1+2+3+5+6+7+8+9) + 8*490 = 41000 + 3920 = 44920

Трехзначные числа, которые начинаются на 4:
400 + 401 + 402 + ... + 499 = 400*100 + (0+1+2+...+99) =
= 40000 + (0 + 99)*100/2 = 40000 + 99*50 = 40000 + 4950 = 44950

Общая сумма:
44920 + 44950 = 89870
Посчитано в уме!
Ответ: 89870

2) О разных числах известно, что:
{ x^2 = 17x + y
{ y^2 = x + 17y
Найти sqrt(x^2 + y^2 + 1)
Из 1 уравнения:
y = x^2 - 17x
Сумма обоих уравнений:
x^2 + y^2 = 17x + y + x + 17y = 18x + 18y
Отсюда:
x^2 + y^2 + 1 = 18x + 18(x^2 - 17x) = 18(x^2 - 16x) + 1
x^2 + y^2 + 1 = 18x^2 - 288x + 1
Как из этого извлечь корень и получить число - непонятно.
Но графически это решается.
Две параболы пересекаются в 4 точках.
При условии x ≠ y получаем два решения:
(-0,944; 16,944) и (16,944; -0,944)
Тогда
sqrt(x^2 + y^2 + 1) = sqrt((-0,944)^2 + 16,944^2 + 1) = sqrt(288 + 1) = 17
На рисунке решения отмечены двумя черными точками.

Ответ: 17

3 и 4 задачи я не знаю, как решать.